Найдите наименьшее значение функции у = 7x - ln(x + 11)^7...

Задание:

Найдите наименьшее значение функции у = 7x - ln(x + 11)⁷ на отрезке [-10,5; 0].

Решение:

ОДЗ: (x + 11)⁷ > 0, x + 11 > 0, x > −11.

На ОДЗ исходная функция примет вид: y = 7x − 7 ln (x + 11).

Найдём производную: y' = 7 − 7 / (x + 11).

Определим нули производной: 7 − 7 / (x + 11) = 0, 1 / (x + 11) = 1, x = −10. Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.

Из рисунка видно, что на отрезке [−10,5; −10] исходная функция убывает, а на отрезке [−10; 0] возрастает. Таким образом, наименьшее значение на отрезке [−10,5; 0] достигается при x = −10 и равно y(−10) = 7 * (−10) − ln (−10 + 11)⁷ = −70.

Ответ: −70.