Найдите наименьшее значение функции у = х + 25/х...

Задание:

Найдите наименьшее значение функции у = х + 25/х + 2017 на отрезке [1; 25].

Решение:

Исходная функция определена при x 6= 0. Тогда производная исходной функции y'(x) = 1 − 25/x². Найдём нули производной: y'(x) = 0 при 25/x² = 1, x² = 25, x = ±5. Исследуемому промежутку принадлежит только значение x = 5. Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.

Из рисунка видно, что функция y = x + 25/x + 2017 убывает на промежутке [1; 5] и возрастает на промежутке [5; 25]. Наименьшее значение достигается при x = 5 и равно y(5) = 5 + 25/5 + 2017 = 2027.

Ответ: 2027.