Запись числа 180 в системе счисления с основанием N содержит...

Задание:

Запись числа 180 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 0. Перечислите в порядке возрастания все возможные основания системы счисления.

Решение:

N² * x + N¹ * y + 0 * N⁰ = 180

N * (N * x + y) = 180

Максимальное  N достигается при x = 1, y = 0, т. е. N max = 13.

Почему x не равен 0? Ответ прост, тогда бы мы имели двузначное число, а это противоречит условию.

Почему N max = 13? Потому что мы выбираем ближайшее целое значение <= корню 180.

Так как последняя цифра 0, выходит что 180 разделилось на основание системы нацело и в остатке вышел 0.

Следовательно основание системы – делитель числа 180 и этот делитель не превышает 13. Делители: 2,3,4,5,6,9,10,12

Не все делители подойдут. Можно проверить их подстановкой, окажется, что подойдут только 6,9,10,12.

Ответ: 6,9,10,12