Главная » Доказать, что каждая из двух заданных систем векторов..
12:53

Доказать, что каждая из двух заданных систем векторов..


Задание:

Доказать, что каждая из двух заданных систем векторов S и S' является базисом. Найти матрицу перехода от S к S'.

    S = ((1,1,1,1), (1,2,1,1), (1,1,2,1), (1,3,2,3)),
    S' = ((1,0,3,3), (-2,-3,-5,-4), (2,2,5,4), (-2,-3,-4,-4)).

Решение:

1) Чтобы доказать, что эти системы векторов являются базисом, докажем, что они линейно независимы. Для этого введем обозначения

(1,1,1,1) = e1, (1,2,1,1) = e2, (1,1,2,1) = e3, (1,3,2,3) = e4.
(1,0,3,3) = f1, (-2,-3,-5,-4) = f2, (2,2,5,4) = f3, (-2,-3,-4,-4) = f4.

Bекторы принадлежат четырехмерному векторному пространству R4
Запишем линейную комбинацию обеих систем, пусть αi и βi из R - поле действительных чисел:

α1e1 + α2e2 + α3e3 + α4e4 = 0
β1f1 + β2f2 + β3f3 + β4f4

Запишем систему для первой системы и решим ее методом Гаусса:

Видим, что система векторов (e1,e2,e3,e4) линейно независима. Можно также посчитать определитель матрицы и убедиться, что он не равен нулю, а следовательно по методу Крамера существует одно единственное решение и оно нулевое, как видно из системы.


Аналогичным образом докажем вторую систему векторов. Запишем систему для первой системы:
Видим, что система векторов (f1,f2,f3,f4) - линейно независима, значит является базисом R4. Доказали, что системы являются базисом.


2) Теперь найдем матрицу перехода.  Возьмем произвольные векторы x,y из R4, координаты которых соответственно: x = (x1,x2,x3,x4) и y = (y1, y2, y3, y4), тогда получаем:
    x1e1 + x2e2 + x3e3 + x4e4 = y1f1 + y2f2 + y3f3 + y4f4 - данное уравнение равносильно следующей системе:

Запишем систему и приведем ее к единичной слева, а справа получим матрицу перехода.

Привели к единичной и получили матрицу перехода. Теперь выпишем из матрицы чему равняются x1, x2, x3 , x4.

Ответ: 


Похожие материалы:
Нашли ошибку на сайте? Напишите в комментариях!
Категория: Математика | Просмотров: 165 | Добавил: Ученик | Рейтинг: 5.0/1