Найдите наибольшее значение функции у = 4x^2 - 19x...

Задание:

Найдите наибольшее значение функции у = 4x² - 19x + 11In x + 715 на отрезке [3/4; 5/4].

Решение:

ОДЗ: x > 0.

Найдём производную исходной функции:

y'(x) = 8x − 19 + 11/x = (8x² − 19x + 11) / x.

Определим нули производной:

y'(x) = 0; (8x² − 19x + 11) / x = 0; 8x² − 19x + 11 = 0;

x₁ = 1, 1 ∈ [3/4 ; 5/4], x₂ = 22/16 = 11/8 > 10/8 = 5/4 , x₂ ∉ [3/4 ; 5/4].

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.

Из рисунка видно, что на отрезке [3/4 ; 1] исходная функция возрастает, а на отрезке [1; 5/4] убывает. Таким образом, наибольшее значение на отрезке [3/4 ; 5/4] достигается при x = 1 и равно y(1) = 4 * 1/2 − 19 * 1 + 11*ln 1 + 715 = 700.

Ответ: 700.