Главная » В окружность с центром О вписан остроугольный тре...
12:06

В окружность с центром О вписан остроугольный тре...


Задание:

В окружность с центром О вписан остроугольный треугольник АВС, в котором проведена медиана В К , причём KBC = OCB.

а) Докажите, что точка О лежит на медиане ВК.

б) Найдите площадь треугольника АОВ, если ABC = 60°, АВ = 4√3.

Решение:

а) Докажем, что точка O лежит на медиане BK.

ΔBOC — равнобедренный (OB = OC как радиусы), следовательно, ∠OCB = ∠OBC (как углы при основании равнобедренного треугольника). По условию ∠KBC = ∠OCB, значит, ∠KBC = ∠OBC.

ΔABC — остроугольный, значит, O лежит внутри треугольника, K и O лежат по одну сторону от BC. В этом случае из равенства ∠KBC и ∠OBC следует, что точка O лежит на медиане BK.

б) ΔAOC — равнобедренный, так как AO = OC (как радиусы), OK — медиана, тогда OK — высота, отсюда BK — высота в ΔABC, BK — высота и медиана ΔABC, значит, он равнобедренный, AB = BC.

По условию ∠ABC = 60◦ , тогда ∠BAC = ∠BCA = 60◦ , AB = BC = AC = 4√3. ΔABC — правильный. ΔAOB = ΔBOC = ΔAOC (по трём сторонам),

SBOA = 1/3*SABC = 1/3 * AB2√3 /4 = (16 * 3√3) /12 = 4√3.

Ответ: 4√3.


Похожие материалы:
Нашли ошибку на сайте? Напишите в комментариях!
Категория: Задание 16 ЕГЭ по математике (Планиметрическая задача) | Просмотров: 26 | | Рейтинг: 5.0/1