Главная » В трапеции ABCD точка М — середина основания AD...
18:21

В трапеции ABCD точка М — середина основания AD...


Задание:

В трапеции ABCD точка М — середина основания AD, точка N выбрана на стороне АВ так, что площадь четырёхугольника ANLM равна площади треугольника CLD, где L — точка пересечения отрезков СМ и DN.

а) Докажите, что N — середина стороны АВ.

б) Найдите, какую часть от площади трапеции ABCD составляет площадь четырёхугольника ANLM , если ВС = 5, AD = 8.

Решение:

а) По условию SANLM = SCLD, следовательно, SANLM + SLMD = SCLD + SLMD, SANLM + SLMD = SAND, SCLD + SLMD = SCMD, значит, SAND = SCMD. 2SAND = 2SCMD = SACD = SABD (треугольники ACD и ABD имеют общее основание AD и общую высоту). Итак, 2SAND = SABD = SAND + SBND, откуда следует, что SAND = SBND, а это означает, что точка N — середина стороны AB (у треугольников AND и BND общая высота).

б) Пусть K — точка пересечения прямых CN и AD. Заметим, что SABCD = SCKD (ΔAKN = ΔBCN по второму признаку равенства треугольников) и CL/CM = SCLD/SCMD.

Проведём MP || KC, тогда из подобия треугольников NCL и LMP (∠MLP = ∠NLC, ∠LPM = ∠CNL) CL/LM = CN/MP = KN/MP.

Из подобия треугольников KND и DMP (KN || MP)

KN/MP = KD/MD = 13/4 . Значит, CL/LM = KN/MP = 13/4 ; 4CL = 13CM − 13CL, 17CL = 13CM, следовательно, CL/CM = 13/17 = SCLD/SCMD, откуда SCLD = 13/17*SCMD.

SCMD/SCKD = MD/KD = 4/13, откуда SCMD = 4/13 * SCKD = 4/13 * SABCD. Подставляя SCMD = 4/13 * SABCD в равенство SCLD = 13/17 * SCMD, получим SCLD = 13/17 * SCMD = 13/17 * 4/13 * SABCD = 4/17 * SABCD. Учитывая, что SANLM = SCLD, окончательно получим: SANLM = 4/17 * SABCD.

Ответ: 4/17.


Похожие материалы:
Нашли ошибку на сайте? Напишите в комментариях!
Категория: Задание 16 ЕГЭ по математике (Планиметрическая задача) | Просмотров: 52 | | Рейтинг: 5.0/1