Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвуют 56 шашистов, среди которых 12 участников из России...

При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена...

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, большее 3.

В классе 21 шестиклассник, среди них два друга - Митя и Петя. Класс случайным образом делят на три группы, по 7 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Митя и Петя окажутся в одной группе.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают 4 раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 2 раза.

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии...

Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,32. Шахматисты А. и Б. играют две партии...

В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 5 из них встречается вопрос по теории вероятностей. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теории вероятностей.

В сборнике билетов по истории всего 50 билетов, в 13 из них встречается вопрос о Великой Отечественной войне. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос...

По отзывам покупателей Игорь Игоревич оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,94. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б...

Павел Иванович совершает прогулку из точки A по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Найдите вероятность того, что Павел...

В группе туристов 10 человек, в том числе турист A. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Какова вероятность того, что туристу А. выпадет по жребию идти в село?

В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника.

Медиана AD треугольника АВС продолжена за сторону ВС на отрезок DE, равный AD, и точка Е соединена с точкой С. а) Докажите, что ΔABD = ΔECD; б) найдите ∠ACE, если ∠ACD = 56°, ∠ABD = 40°.

Точки А и С лежат по одну сторону от прямой а. Перпендикуляры АВ и CD к прямой а равны, а) Докажите, что ∠ABD = ∠CDB; б) найдите ∠ABC, если ∠ADB = 44°.

Начертите три равнобедренных треугольника так, чтобы угол, лежащий против основания, был: а) острым; б) прямым; в) тупым.

Начертите треугольник АВС с тремя острыми углами и треугольник MNP, у которого угол М тупой. С помощью чертежного угольника проведите высоты каждого треугольника.

Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки проведите его биссектрисы.

Начертите треугольник. С помощью масштабной линейки отметьте середины сторон и проведите медианы треугольника.

На сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка В лежит на отрезке AC, а точка Е — на отрезке AD, причем АС = AD и АВ = АЕ. Докажите, что ∠CBD = ∠DEC

В треугольниках АВС и А₁B₁С₁ АB = A₁B₁, АС = А₁С₁, ∠A=∠A₁ На сторонах АВ и А₁B₁ отмечены точки Р и P₁ так, что АР =А₁Р₁. Докажите, что ΔBРС = ΔB₁P₁C₁.

Отрезки АС и ВD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что ΔАBС=ΔСDА.

На рисунке 54 ОА = ОВ, ОB = ОС, ∠l=74°, ∠2=36°. а) Докажите, что треугольники АОВ и BОС равны; б) найдите ∠ACD.

На рисунке 53 BС =AD, ∠1=∠2. а) Докажите, что треугольники АВС и CDA равны; б) найдите АВ и BС, если AD = 17 см, DC = 14 см.

На рисунке 52 АB=АС, ∠1=∠2. а) Докажите, что треугольники ABD и АСВ равны; б) найдите ВD и АB, если АС = 15 см, DC = 5 см.

Отрезки АЕ и DC пересекаются в точке B, являющейся серединой каждого из них. а) Докажите, что треугольники АBС и EBD равны; б) найдите углы А и С треугольника АBС, если в треугольнике BDE ∠D = 47°, ∠E = 42°.

Периметр одного треугольника больше периметра другого. Могут ли быть равными эти треугольники?

Периметр треугольника равен 48 см, а одна из сторон равна 18 см. Найдите две другие стороны, если их разность равна 4,6 см.

Сторона АВ треугольника АВС равна 17см, сторона АС вдвое больше стороны АВ, а сторона ВС на 10 см меньше стороны АС. Найдите периметр треугольника АВС.

Начертите треугольник DEF так, чтобы угол Е был прямым. Назовите: а) стороны, лежащие против углов D, Е, F; б) углы, лежащие против сторон DE, EF, FD; в) углы, прилежащие к сторонам DE, EF, FD.

Начертите треугольник и обозначьте его вершины буквами М, N и Р. а) Назовите все углы и стороны треугольника; б) с помощью масштабной линейки измерьте стороны и найдите периметр треугольника.

Даны две пересекающиеся прямые а и b и точка А, не лежащая на этих прямых. Через точку А проведены прямые m и n так, что m⊥a , n⊥b . Докажите, что прямые m и n не совпадают.

Докажите, что если биссектрисы углов АВС и CBD перпендикулярны, то точки А, В и D лежат на одной прямой.

Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Найдите угол, образованный биссектрисами двух смежных углов.

Найдите смежные углы, если: а) один из них на 45° больше другого; б) их разность равна 35°.

Угол hk равен 120°, а угол hm равен 150°. Найдите угол km. Для каждого из возможных случаев сделайте чертеж.

Известно, что ∠AOB = 35°, ∠BOC = 50°. Найдите угол АОС. Для каждого из возможных случаев сделайте чертеж с помощью линейки и транспортира.

Точки А, В и С лежат на одной прямой, точки М и N — середины отрезков АВ и АС. Докажите, что ВС = 2MN.

Отрезок в 36 см разделен на четыре не равные друг другу части. Расстояние между серединами крайних частей равно 30 см. Найдите расстояние между серединами средних частей.

Отрезок длины m разделен: а) на три равные части; б) на пять равных частей. Найдите расстояние между серединами крайних частей.

Отрезок АВ длины а разделен точками Р и Q на три отрезка АР, PQ и QB так, что АР = 2PQ = 2QB. Найдите расстояние между: а) точкой А и серединой отрезка QB; б) серединами отрезков АР и QB.

Три точки К , L, М лежат на одной прямой, KL = 6 см, LM= 10 см. Каким может быть расстояние КМ? Для каждого из возможных случаев сделайте чертеж.

Точка N лежит на отрезке МР. Расстояние между точками М и Р равно 24 см, а расстояние между точками N и M в два раза больше расстояния между точками N и Р. Найдите расстояние: а) между точками N и Р; б) между точками N и М.

Сколько неразвернутых углов образуется при пересечении трех прямых, проходящих через одну точку?

Даны четыре прямые, каждые две из которых пересекаются. Сколько точек пересечения имеют эти прямые, если через каждую точку пересечения проходят только две прямые?

Отметьте четыре точки так, чтобы никакие три не лежали на одной прямой. Через каждую пару точек проведите прямую. Сколько получилось прямых?

Через точку А, не лежащую на прямой а, проведены три прямые, пересекающие прямую а. Докажите, что по крайней мере две из них не перпендикулярны к прямой а.

Прямая а пересекает стороны угла А в точках Р и Q. Могут ли обе прямые АР и AQ быть перпендикулярными к прямой а?

На рисунке 48 ∠AOB = 50°, ∠FOE = 70°. Найдите углы АОС, BOD, СОЕ и COD.

На рисунке 47 изображены три прямые, пересекающиеся в точке О. Найдите сумму углов: ∠1+∠2+∠3.

На рисунке 41 найдите углы 1, 2, 3, 4, если: a) ∠2 +∠4 = 220°; б) 3(∠1 +∠3) = ∠2 +∠4; в) ∠2-∠1 = 30°.

Найдите неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если: а) сумма двух из них равна 114°; б) сумма трех углов равна 220°.

Найдите изображенные на рисунке 41 углы: а) 1, 3, 4, если ∠2 = 117°; б) 1, 2, 4, если ∠3 = 43°27'.

Даны два равных угла. Равны ли смежные с ними углы?

На рисунке 46 углы BOD и COD равны. Найдите угол AOD, если ∠COB = 148°.

Найдите смежные углы hk и kl, если: a) ∠hk меньше ∠kl на 40°; б) ∠hk больше ∠kl на 120°; в) ∠hk больше ∠kl на 47°18'; г) ∠hk = 3∠kl; д) ∠hk : ∠kl = 5 : 4.

Верно ли утверждение: если смежные углы равны, то они прямые?

Один из смежных углов прямой. Каким (острым, прямым, тупым) является другой угол?

Найдите угол, смежный с углом АВС, если: a) ∠ABC = 111°; б) ∠ABC = 90°; в) ∠ABC= 15°.

Начертите неразвернутый угол MON и отметьте точку Р внутри угла и точку Q — вне его. С помощью чертежного угольника и линейки через точки Р и Q проведите прямые, перпендикулярные к прямым ОМ и ON.

Начертите неразвернутый угол hk. Постройте угол h₁k₁ так, чтобы углы hk и h₁k₁ были вертикальными.

Начертите три угла: острый, прямой и тупой. Для каждого из них начертите смежный угол.

Начертите острый угол АОВ и на продолжении луча ОB отметьте точку D. Сравните углы АОВ и AOD.

Луч l является биссектрисой неразвернутого угла hk. Может ли угол hl быть прямым или тупым?

На рисунке 39 луч OV является биссектрисой угла ZOY, а луч OU — биссектрисой угла XOY. Найдите угол XOZ, если ∠UOV = 80°.

На рисунке 38 угол АОD— прямой, ∠AOB = ∠BOC = ∠COD. Найдите угол, образованный биссектрисами углов АОB и COD.

Угол АОB является частью угла АОС. Известно, что ∠AOC= 108°, ∠AOB = 3∠BOC. Найдите угол АОB.

Луч ОС делит угол АОB на два угла. Найдите угол АОС, если ∠AOB = 155°, а угол АОС на 15° больше угла СОВ.

Луч ОС делит угол АОB на два угла. Найдите угол СОВ, если ∠AOB = 78°, а угол АОС на 18° меньше угла BОС.

Луч ОЕ делит угол АОВ на два угла. Найдите ∠AOB, если: a) ∠AOE = 44°, ∠EOB = 77°; б) ∠AOE = 12°37', ∠EOB = 108°25'.

На рисунке 37 изображены лучи с общим началом О. а) Найдите градусные меры углов АОХ, BOX, АОВ, СОВ, DOX; б) назовите углы, равные 20°; в) назовите равные углы; г) назовите все углы со стороной ОА и найдите их градусные меры.

Градусные меры двух углов равны. Равны ли сами углы?

Отрезок, равный 28 см, разделен на три неравных отрезка. Расстояние между серединами крайних отрезков 16 см. Найдите длину среднего отрезка.

Отрезок, длина которого равна а, разделен произвольной точкой на два отрезка. Найдите расстояние между серединами этих отрезков.

На прямой отмечены точки О, А и В так, что ОА= 12 см, ОВ = 9 см. Найдите расстояние между серединами отрезков О А и ОВ, если точка О: а) лежит на отрезке АВ; б) не лежит на отрезке АВ.

Точка С — середина отрезка АВ, точка О — середина отрезка АС. а) Найдите АС, СВ, АО и ОВ, если АВ = 2 см; б) найдите АВ, АС, АО и ОВ, если СВ = 3,2 м.

Расстояние между Москвой и С.-Петербургом равно 650 км. Город Тверь находится между Москвой и С.-Петербургом в 170 км от Москвы. Найдите расстояние между Тверью и С.-Петербургом, считая, что все три города расположены на одной прямой.

Точка С — середина отрезка АВ, равного 64 см. На луче С А отмечена точка D так, что СD = 15 см. Найдите длины отрезков BD и DA.

Точки В, D и М лежат на одной прямой. Известно, что BD= 7 см, MD = 16 см. Каким может быть расстояние ВМ?

Точки А, В и С лежат на одной прямой. Известно, что АВ = 12 см, ВС= 13,5 см. Какой может быть длина отрезка АС?

Точка В делит отрезок АС на два отрезка. Найдите длину отрезка ВС, если: а) АВ = 3,7 см, АС = 7,2 см; б) АВ= 4 мм, АС = 4 см.

Точка В делит отрезок АС на два отрезка. Найдите длину отрезка АС, если АВ = 7,8 см, ВС = 25 мм.

Начертите прямую АВ. С помощью масштабной линейки отметьте на этой прямой точку С, такую, что АС = 2 см. Сколько таких точек можно отметить на прямой АВ ?

Начертите прямую и отметьте на ней точки А и В. С помощью масштабной линейки отметьте точки C и D так, чтобы точка В была серединой отрезка АС, а точка D — серединой отрезка ВС.

Начертите отрезок АВ и луч h. Пользуясь масштабной линейкой, отложите на луче h от его начала отрезки, длины которых равны 2АВ, 1/2AВ и 1/4AB.

Найдите длины всех отрезков, изображенных на рисунке 31, если за единицу измерения принят отрезок: a) KL; б) АВ

Измерив толщину учебника геометрии без обложки, найдите толщину одного листа.

Измерьте ширину и длину учебника геометрии и выразите их в сантиметрах и в миллиметрах.

На рисунке 26 углы, обозначенные цифрами, равны. Укажите: а) биссектрису каждого из углов АОС, BOF, АОЕ; б) все углы, биссектрисой которых является луч ОС.

Луч l — биссектриса угла hk. Можно ли наложением совместить углы: а) hl и lk; б) hl и hk?

Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Сравните углы АОВ и АОС.

На рисунке 25 отрезки АВ, ВС, CD и DE равны. Укажите: а) середины отрезков АС, АЕ и СЕ; б) отрезок, серединой которого является точка D; в) отрезки, серединой которых является точка С.

Точка О является серединой отрезка АВ. Можно ли совместить наложением отрезки: а) ОА и ОВ; б) ОА и АВ?

На луче с началом О отмечены точки А, В и С так, что точка В лежит между точками О и А, а точка А — между точками О и С. Сравните отрезки ОB и ОА, ОС и ОА, ОВ и ОС.

Какие из лучей, изображенных на рисунке 18, делят угол АОВ на два угла?

Какие из точек, изображенных на рисунке 17, лежат внутри угла hk, а какие — вне этого угла?

Сколько неразвернутых углов образуется при пересечении двух прямых?

Начертите неразвернутый угол АОВ и проведите: а) луч ОС, который делит угол АОВ на два угла; б) луч ОB, который не делит угол АОС на два угла.