Доказать, что каждая из двух заданных систем векторов..

Задание:

Доказать, что каждая из двух заданных систем векторов S и S' является базисом. Найти матрицу перехода от S к S'.

    S = ((1,1,1,1), (1,2,1,1), (1,1,2,1), (1,3,2,3)),
    S' = ((1,0,3,3), (-2,-3,-5,-4), (2,2,5,4), (-2,-3,-4,-4)).

Решение:

1) Чтобы доказать, что эти системы векторов являются базисом, докажем, что они линейно независимы. Для этого введем обозначения

(1,1,1,1) = e1, (1,2,1,1) = e2, (1,1,2,1) = e3, (1,3,2,3) = e4.
(1,0,3,3) = f1, (-2,-3,-5,-4) = f2, (2,2,5,4) = f3, (-2,-3,-4,-4) = f4.

Bекторы принадлежат четырехмерному векторному пространству R⁴
Запишем линейную комбинацию обеих систем, пусть α_i и β_i из R - поле действительных чисел:

α₁e₁ + α₂e₂ + α₃e₃ + α₄e₄ = 0
β₁f₁ + β₂f₂ + β₃f₃ + β₄f₄

Запишем систему для первой системы и решим ее методом Гаусса:

Видим, что система векторов (e₁,e₂,e₃,e₄) линейно независима. Можно также посчитать определитель матрицы и убедиться, что он не равен нулю, а следовательно по методу Крамера существует одно единственное решение и оно нулевое, как видно из системы.

Аналогичным образом докажем вторую систему векторов. Запишем систему для первой системы:
Видим, что система векторов (f₁,f₂,f₃,f₄) - линейно независима, значит является базисом R⁴. Доказали, что системы являются базисом.

2) Теперь найдем матрицу перехода.  Возьмем произвольные векторы x,y из R⁴, координаты которых соответственно: x = (x₁,x₂,x₃,x₄) и y = (y₁, y₂, y₃, y₄), тогда получаем:
    x₁e₁ + x₂e₂ + x₃e₃ + x₄e₄ = y₁f₁ + y₂f₂ + y₃f₃ + y₄f₄ - данное уравнение равносильно следующей системе:

Запишем систему и приведем ее к единичной слева, а справа получим матрицу перехода.

Привели к единичной и получили матрицу перехода. Теперь выпишем из матрицы чему равняются x₁, x₂, x₃ , x₄.

Ответ: