Методом математической индукции доказать неравенство 2^n > n

Задание:

1) Методом математической индукции доказать неравенство (n ∈ N): 2ⁿ > n

Решение:

База индукции:

n = 1:
2¹ > 1 - верно

Шаг индукции:

Предположим, что утверждение верно при n = k:

2^k > k

Докажем, что утверждение верно при n = k + 1:

2^k+1 > k + 1

Рассмотрим левую часть: 

2^k+1 = 2 * 2^k

По предположению 2^k > k , значит

2^k+1 = 2 * 2^k > 2 * k ≥ k + 1,  так как 2k - (k + 1) = k - 1 ≥ 0

Что и требовалось доказать