Постройте график функции y = x^2 - |4x + 7|. Определите...

Постройте график функции y = x² - |4x + 7|.
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение:

Раскроем модуль и составим систему уравнений:

1) y = x² - 4x - 7
D = (-4)² - 4 * 1 * (-7) = 44 = (2√11)²
x₁ = (4 + 2√11) / 2 = 2 + √11
x₂ = (4 - 2√11) / 2 = 2 - √11
x_{вершины} = 4 / 2 = 2
y_{вершины} = 4 - 8 - 7 = -11
2) y = x² + 4x + 7
D = 4² - 4 * 1 * 7 = -12 - корней нет
x_{вершины} = -4 / 2 = -2
y_{вершины} = 4 - 8 + 7 = 3

Как видно по графику, прямая y = m имеет с функцией ровно три общие точки в случае m = 3 и в случае прямой проходящей через точку пересечения двух графиков.
Найдём точку пересечения графиков:
x² - 4x - 7 = x² + 4x + 7
-8x = 14
x = 1,75
y = x² - 4x - 7 = 49/16 + 7 - 7 = 49/16 = 3,0625

Ответ: m = 3; m = 3,0625