Постройте график функции: y = (x^4 - 13x^2 + 36) / (x-3)(x+2)

Задание:

Постройте график функции: 

и определите, при каких значениях параметра с прямая у = с имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Недопустимыми значениями аргумента являются те, при которых знаменатель дроби обращается в ноль: x = –2 и x = 3 не являются аргументами данной функции. Попробуем разложить числитель на множители в надежде на упрощение вида нашей функции: 

Тогда при x ≠ –2 и x ≠ 3 функция принимает вид:

графиком этой функции является парабола, точки которой с абсциссами x = –2 и x = 3 являются выколотыми (это точки (–2; –4) и (3: 6)).

Становится понятно, что прямая у = с (горизонтальная линия) имеет с графиком ровно одну общую точку либо тогда, когда проходит через вершину параболы, либо тогда, когда он пересекает параболу в двух точках, одна из которых – выколотая, то есть когда с = –4 или с = 6.

Остается теперь найти вершину параболы. Для параболы вида:

y = ax² + bx + c

координаты вершины имеют следующие формулы:

Нас интересует только ордината вершины параболы:

График:

Ответ: –6,25, –4, 6; график изображен на рисунке.