Решите неравенство log|x - 2|(4 + 7x - 2х^2) ≥ 2.

Задание:

Решите неравенство log_{|x - 2|}(4 + 7x - 2х²) ≥ 2.

Решение:

log_{|x - 2|}(4 + 7x - 2х²) ≥ 2.

ОДЗ:

x ∈ (−0,5; 1) ∪ (1; 2) ∪ (2; 3) ∪ (3; 4).

log_|x−2|(4 + 7x − 2x²) > log_|x−2|(x − 2)²,

log_|x−2|(4 + 7x − 2x²) − log_|x−2|(x − 2)² ≥ 0.

На ОДЗ заменим полученное неравенство равносильными неравенствами, применив дважды метод рационализации:

1) знак log_a f − log_a g совпадает со знаком (a − 1)(f − g),

2) знак |f| − |g| совпадает со знаком (f − g)(f + g).

Применяем 1: (|x − 2| − 1)(4 + 7x − 2x² − x² + 4x − 4) ≥ 0,

(|x − 2| − 1)(−3x² + 11x) ≥ 0.

Разделим обе части неравенства на −3.

(|x − 2| − 1)(x² − 11x/3) ≤ 0.

Применяем 2: (x − 2 − 1)(x − 2 + 1)x(x − 11/3) ≤  0,

x(x − 3)(x − 1)(x − 11/3) ≤ 0.

0 ≤ x ≤ 1, 3 ≤ x ≤ 11/3.

Учитывая ОДЗ, получим:

0 ≤ x < 1; 3 < x ≤ 11/3.

Ответ: [0; 1) ∪ (3; 11/3].