Решите неравенство log|x+4|(16 + 14х - 2х^2) ≥ 2.
Категория: Задание 15 ЕГЭ по математике (Неравенства)
Задание:
Решите неравенство log|x+4|(16 + 14х - 2х2) ≥ 2.
Решение:
log|x+4|(16 + 14х - 2х2) ≥ 2.
ОДЗ:
x ∈ (−1; 8).
log|x+4|(16 + 14x − 2x2) ≥ log|x+4|(x + 4)2,
log|x+4|(16 + 14x − 2x2) − log|x+4|(x + 4)2 ≥ 0 (1).
На ОДЗ заменим полученное неравенство (1) равносильными неравенствами, применив дважды метод рационализации:
1) знак loga f − loga g совпадает со знаком (a − 1)(f − g),
2) знак |f| − |g| совпадает со знаком (f − g)(f + g).
Согласно 1: (|x + 4| − 1)(16 + 14x − 2x2 − x2 − 8x − 16) ≥ 0,
(|x + 4| − 1)(−3x2 + 6x) ≥ 0.
Разделим обе части неравенства на −3.
(|x + 4| − 1)(x2 − 2x) ≤ 0,
Согласно 2: (x + 4 − 1)(x + 4 + 1)x(x − 2) ≤ 0.
x(x + 3)(x + 5)(x − 2) ≤ 0.
−5 ≤ x ≤ −3, 0 ≤ x ≤ 2.
Учитывая ОДЗ, получим:
0 ≤ x ≤ 2.
Ответ: [0; 2].