Решите неравенство (Зх - 7) * log(5х - 11) (х^2 - 8х + 17) ≥ 0.

Задание:

Решите неравенство (Зх - 7) * log_{5х - 11} (х² - 8х + 17) ≥ 0.

Решение:

В правой части неравенства стоит 0, в левой — произведение двух множителей. Определим знаки каждого из этих множителей. При x = 7/3 выражение 3x − 7 = 0, при x > 7/3 выражение 3x − 7 > 0, а при x < 7/3 выражение 3x − 7 < 0.

Рассмотрим выражение log_5x−11(x² − 8x + 17) и определим его знаки. Заметим, что x² − 8x + 17 = (x − 4)² + 1 ≥ 1 при любых значениях x. Значит, при 5x − 11 > 1, то есть при x > 2,4, выражение log_5x−11(x² − 8x + 17) > 0; при 0 < 5x − 11 < 1, то есть при 2,2 < x < 2,4, log_5x−11(x² − 8x + 17) < 0 и не определено при x ≤ 2,2 и x = 2,4. Удобно знаки сомножителей отметить на двух параллельных прямых (см. рис.).

Таким образом, решение исходного неравенства: 11/5 < x ≤ 7/3 ; x > 2,4. Ответ: (2,2; 2 1/3]; (2,4; +∞).