Выделить максимальную линейно независимую...

Задание:

Выделить максимальную линейно независимую подсистему векторов в R⁴:

a1 = (1, −1, 2, 0), a2 = (2, 3, −4, 2), a3 = (3, 2, −2, 2), a4 = (1, 4, −6, 2), a5 = (4, 1, 0, 2).

Решение. Определим, является ли система векторов a1, a2, a3, a4, a5 линейно зависимой или нет. Для этого составим линейную комбинацию:
α1a1 + α2a2 + α3a3 + α4a4 + α5a5.

Подставим числовые значения векторов a1, a2, a3, a4, a5 и приравняем линейную комбинацию к нулевому вектору в R⁴, получим:

α1(1, −1, 2, 0) + α2(2, 3, −4, 2) + α3(3, 2, −2, 2) + α4(1, 4, −6, 2) + α5(4, 1, 0, 2) = (0, 0, 0, 0).

В левой части равенства каждый из векторов умножим на соответствующий коэффициент и сложим векторы, получим:
(α1 + 2α2 + 3α3 + α4 + 4α5, −α1 + 3α2 + 2α3 + 4α4 + α5, 2α1 − 4α2 − 2α3 − 6α4,
2α2 + 2α3 + 2α4 + 2α5) = (0, 0, 0, 0).

Два вектора равны, если равны их соответствующие компоненты, поэтому полученное равенство эквивалентно системе:

Если эта система линейных однородных уравнений имеет единственное решение, то векторы a1, a2, a3, a4, a5 линейно независимы. Если решений бесконечно много, то векторы линейно зависимы. Решим полученную систему уравнений методом Гаусса:

Так как переменные α3, α4, α5 являются свободными, то исходная система имеет ненулевое решение. Следовательно векторы a1, a2, a3, a4, a5 линейно зависимы. Найдем, как один из этих векторов выражается через остальные. Исходная система линейных уравнений эквивалентна следующей:

Из этой системы находим, что

Подставляя α3 = 1, α4 = α5 = 0 получаем, что пятерка (−1, −1, 1, 0, 0) является решением системы. Тогда справедливо равенство: −a1 − a2 + a3 = 0.

Вектор a3 линейно выражается через векторы a1 и a2, следовательно его можно отбросить. Получим систему векторов a1, a2, a4, a5. Снова определим, является ли эта система векторов линейно независимой. Составим линейную комбинацию: β1a1 + β2a2 + β3a4 + β4a5.

Найдем, при каких значениях неизвестных β1, β2, β3, β4 эта линейная комбинация равна нулю. Подставив числовые значения векторов a1, a2, a4, a5 и сложив получившиеся векторы, получим:
(β1 + 2β2 + β3 + 4β4, −β1 + 3β2 + 4β3 + β4, 2β1 − 4β2 − 6β3, 2β2 + 2β3 + 2β4) = (0, 0, 0, 0).

Система линейных однородных уравнений, которой эквивалентно равенство, имеет следующий вид:

Будем решать эту систему методом Гаусса. Для этого надо в точности повторить те преобразования матрицы коэффициентов, которые мы делали в предыдущем случае:

Неизвестные β3, β4 являются свободными, следовательно исходная система линейных уравнений имеет бесконечно много решений. Тогда векторы a1, a2, a4, a5 линейно зависимы. Найдем, как один из этих векторов выражается через остальные. Исходная система
линейных уравнений эквивалентна следующей:

Находим, что четверка (1, −1, 1, 0) является решением исходной системы. Следовательно справедливо равенство: a1 − a2 + a4 = 0.

Вектор a4 линейно выражается через векторы a1 и a2, следовательно его можно отбросить. Получим систему векторов a1, a2, a5. Снова определим, являются ли они линейно независимыми. Составляем линейную комбинацию:   γ1a1 + γ2a2 + γ3a5.

Подставляя числовые значения векторов a1, a2, a5 и приравнивая линейную комбинацию к нулевому в R4 вектору, получим: (γ1 + 2γ2 + 4γ3, −γ1 + 3γ2 + γ3, 2γ1 − 4γ2, 2γ2 + 2γ3) = (0, 0, 0, 0).

Это равенство эквивалентно следующей системе линейных однородных уравнений:

Будем решать эту систему уравнений методом Гаусса. Снова повторяем преобразования матрицы коэффициентов, которые делали в предыдущих случаях:

Неизвестная γ3 является свободной, следовательно исходная система линейных уравнений имеет бесконечно много решений. Тогда векторы a1, a2, a5 линейно зависимы. Исходная система уравнений эквивалентна следующей:

Находим, что тройка (−2, −1, 1) является решением исходной системы. Следовательно справедливо равенство: −2a1 − a2 + a5 = 0.

Вектор a5 линейно выражается через векторы a1 и a2, следовательно его можно отбросить. Получим систему векторов a1, a2. Снова определим, является ли она линейно независимой. Составляем линейную комбинацию: ζ1a1 + ζ2a2.

Подставляя числовые значения векторов a1, a2 и приравнивая линейную комбинацию к нулевому вектору в R, получим: (ζ1 + 2ζ2, −ζ1 + 3ζ2, 2ζ1 − 4ζ2, 2ζ2) = (0, 0, 0, 0).

Это равенство эквивалентно следующей системе линейных однородных уравнений:

Решаем эту систему методом Гаусса:

Обе неизвестные ζ1, ζ2 являются главными, следовательно исходная система уравнений имеет только нулевое решение (0, 0). Тогда векторы a1, a2 линейно независимы. Они образуют максимальную линейно независимую подсистему.

Ответ. a1, a2.