Решите уравнение tg^2 x + 5tgx + 6 = 0..

Задание:

а) Решите уравнение tg²x + 5tgx + 6 = 0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2п;-п/2]

Решение:

tg²x + 5tgx + 6 = 0

Сделаем замену tgx = t

t² + 5t + 6 = 0
t1 + t2 = -5
t1 * t2 = 6

t = -2
t = -3

Делаем обратную замену:

tgx = -2                                   tgx = -3
x = -arctg2 + Пn, n Є Z           x = -arctg3 + Пk, k Є Z

Сделаем замену для подбора корней:
-arctg2 и  -arctg3 - это приблизительно -П/3
x = -П/3 + Пn, n Є Z            x = -П/3 + Пk, k Є. Z

Выходит, что у этих уравнений одинаковые корни, решим только одно из них:

x = -П/3 + Пn, n Є Z
n = 0
x = -П/3 + П * 0 = -П/3 + 0 = -П/3 - Не принадлежит нашему отрезку.

n = -1
x = -П/3 + П *(-1) = -П/3 - П = -4П/3- Принадлежит нашему отрезку.

Больше корней нет, делаем обратную замену -П/3 на -arctg2 и  -arctg3, получается:
-arctg2 - П; -arctg3 - П

Ответ: а) x = -arctg2 + Пn, n Є Z.
                     x = -arctg3 + Пk, k Є Z.
                  б) -arctg2 - П ; -arctg3 - П.