Однородный диск радиуса R раскрутили до угловой скорости ω и осторожно положили на горизонтальную поверхность. Сколько времени диск будет вращаться на поверхности, если коэффициент трения равен k? Давление диска на поверхность считать равномерным.

Однородный цилиндр радиуса R раскрутили вокруг его оси до угловой скорости ω₀ и поместили затем в угол (рис. 1.58). Коэффициент трения между стенками угла и цилиндром равен k. Сколько оборотов сделает цилиндр до остановки?

В системе (рис. 1.57) известны массы тел m₁ и m₂, коэффициент трения k между телом m₁ и горизонтальной плоскостью, а также масса блока m, который можно считать однородным диском. Скольжения нити по блоку нет. В момент t = 0 тело m₂ начинает опускаться. Пренебрегая массой нити и трением в оси блока, найти работу силы трения, действующей на тело m₁, за первые t секунд после начала движения.

В установке (рис. 1.56) известны масса однородного сплошного цилиндра m, его радиус R и массы тел m₁ и m₂. Скольжения нити и трения в оси цилиндра нет. Найти угловое ускорение цилиндра и отношение натяжений T₁/T₂ вертикальных участков нити в процессе движения.

Горизонтальный тонкий однородный стержень АВ массы m и длины l может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец А. В некоторый момент на конец В начала действовать постоянная сила F, которая все время перпендикулярна к первоначальному положению покоившегося стержня и направлена в горизонтальной плоскости. Найти угловую скорость стержня как функцию его угла поворота φ из начального положения.

На однородный сплошной цилиндр массы M и радиуса R намотана легкая нить, к концу которой прикреплено тело массы m (рис. 1.55). В момент t = 0 система пришла в движение. Пренебрегая трением в оси цилиндра, найти зависимость от времени: а) угловой скорости цилиндра; б) кинетической энергии всей системы.

Исходя из формулы для момента инерции однородного шара, найти момент инерции тонкого сферического слоя массы m и радиуса R относительно оси, проходящей через его центр.

Однородный диск радиуса R = 20 см имеет круглый вырез, как показано на рис. 1.54. Масса оставшейся (заштрихованной) части диска m = 7,3 кг. Найти момент инерции такого диска относительно оси, проходящей через его центр инерции и перпендикулярной к плоскости диска.

Показать, что для тонкой пластинки произвольной формы имеется следующая связь между моментами инерции: I₁ + I₂ = I₃, где 1, 2, 3 — три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через одну точку, причем оси 1 и 2 лежат в плоскости пластинки...

Найти момент инерции: а) тонкого однородного стержня относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его конец, если масса стержня m и его длина l; б) тонкой однородной прямоугольной пластинки относительно оси, проходящей перпендикулярно к плоскости пластинки через одну из ее вершин, если стороны пластинки a и b, а ее масса m.

К точке с радиус-вектором r₁ = ai приложена сила F₁ = Аj, а к точке с r₂ = bj — сила F₂ = Bi. Здесь оба радиус-вектора определены относительно начала координат O, i и j — орты осей x и y, а, b, А и В — постоянные. Найти плечо l равнодействующей силы относительно точки O.

Тонкий однородный стержень АВ массы m = 1,0 кг движется поступательно с ускорением w = 2,0 м/с² под действием двух антипараллельных сил F₁ и F₂ (рис. 1.52). Расстояние между точками приложения этих сил a = 20 см. Кроме того, известно, что F₂ = 5,0 Н. Найти длину стержня.

Спутник, движущийся по круговой орбите радиуса R = 2,00*10⁴ км в экваториальной плоскости Земли с Запада на Восток, появляется над некоторым пунктом на экваторе через каждые τ = 11,6 ч. Вычислить на основании этих данных массу Земли. Гравитационная постоянная предполагается известной.

Телу сообщили на полюсе Земли скорость v₀, направленную вертикально вверх. Зная радиус Земли и ускорение свободного падения на ее поверхности, найти высоту, на которую поднимется тело. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Однородный шар имеет массу M и радиус R. Найти давление p внутри шара, обусловленное гравитационным сжатием, как функцию расстояния r от его центра. Оценить p в центре Земли, считая, что Земля является однородным шаром.

Доказать с помощью законов сохранения, что полная механическая энергия планеты массы m, движущейся вокруг Солнца по эллипсу, зависит только от его большой полуоси a. Найти формулу зависимости этой энергии от a.

Двойная звезда — это система из двух звезд, движущихся под действием притяжения вокруг центра инерции системы. Найти расстояние между компонентами двойной звезды, если ее суммарная масса M и период обращения T.

Некоторая планета массы M движется вокруг Солнца по эллипсу так, что минимальное расстояние между ней и Солнцем равно r, а максимальное — R. Найти с помощью законов Кеплера период обращения ее вокруг Солнца.

Некоторая планета массы M движется по окружности вокруг Солнца со скоростью v = 34,9 км/с (относительно гелиоцентрической системы отсчета). Найти период обращения этой планеты вокруг Солнца.

Шарик массы m, двигавшийся со скоростью v₀, испытал упругое лобовое соударение с одним из шариков покоившейся жесткой гантели, как показано на рис. 1.50. Масса каждого шарика гантели равна m/2, расстояние между ними — l. Пренебрегая размерами шариков, найти собственный момент импульса M гантели после соударения, т.е. момент импульса в поступательно движущейся системе отсчета, связанной с центром инерции гантели.

Однородный шар массы m и радиуса R начинает скатываться без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Найти зависимость от времени момента импульса шара относительно точки касания в начальный момент. Как изменится результат в случае абсолютно гладкой наклонной плоскости?

На гладкой горизонтальной плоскости движется небольшое тело массы m, привязанное к нерастяжимой нити, другой конец которой втягивают в отверстие О (рис. 1.49) с постоянной скоростью. Найти натяжение нити в зависимости от расстояния r тела до отверстия, если при r = r₀ угловая скорость нити была равна ω0.

Небольшой шарик подвесили к точке О на легкой нитя длиной l. Затем шарик отвели в сторону так, что нить отклонилась на угол ϑ от вертикали, и сообщили ему скорость в горизонтальном направлении перпендикулярно к вертикальной плоскости, в которой расположена нить. Какую начальную скорость надо сообщить шарику, чтобы в процессе движения максимальный угол отклонения нити от вертикали оказался равным π/2?

Частица движется по замкнутой траектории в центральном силовом поле, где ее потенциальная энергия U = kr², k — положительная постоянная, r — расстояние частицы до центра поля О. Найти массу частицы, если наименьшее расстояние ее до точки О равно r₁, а скорость на наибольшем расстоянии от этой точки — v₂..

Горизонтальный гладкий диск вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр — точку О. Из этой точки в момент t = 0 пустили шайбу со скоростью v₀. Найти момент импульса шайбы M (t) относительно точки О в системе отсчета, связанной с диском. Убедиться, что этот момент импульса обусловлен действием силы Кориолиса.

Шарик массы m падает без начальной скорости с высоты h над поверхностью Земли. Найти модуль приращения вектора момента импульса шарика за время падения — относительно точки О системы отсчета, движущейся поступательно со скоростью V в горизонтальном направлении. В момент начала падения точка О совпадала с шариком. Сопротивление воздуха не учитывать.

Небольшой шарик массы m, привязанный на нити длины l к потолку в точке О, движется по горизонтальной окружности с постоянной угловой скоростью ω. Относительно каких точек момент импульса M шарика остается постоянным? Найти модуль приращения вектора момента импульса шарика относительно точки О за половину оборота.

Шайба А массы m, скользя по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью v, испытала в точке О (рис. 1.48) абсолютно упругий удар с гладкой неподвижной стенкой. Угол между направлением движения шайбы и нормалью к стенке равен α. Найти...

Шарик массы m бросили под углом α к горизонту с начальной скоростью v₀. Найти модуль вектора момента импульса шарика относительно точки бросания в зависимости от времени движения. Вычислить M в вершине траектории, если m = 130 г, α = 45° и v₀ = 25 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Цепочка АВ длины l находится в гладкой горизонтальной трубке так, что часть ее длины h свободно свешивается, касаясь, своим концом В поверхности стола (рис. 1.47). В некоторый момент конец А цепочки отпустили. С какой скоростью выскочит из трубки этот конец цепочки?

Тележка с песком движется по горизонтальной плоскости под действием постоянной силы F, совпадающей по направлению с ее вектором скорости. При этом песок высыпается через отверстие в дне с постоянной скоростью μ кг/с. Найти...

Космический корабль массы m₀ движется в отсутствие внешних сил с постоянной скоростью v₀. Для изменения направления движения включили реактивный двигатель, который стал выбрасывать струю газа с постоянной относительно корабля скоростью u, все время перпендикулярной к направлению движения корабля. В конце работы двигателя масса корабля стала равной m...

Найти закон изменения массы ракеты со временем, если ракета движется в отсутствие внешних сил с постоянным ускорением w, скорость истечения газа относительно ракеты постоянна и равна u, а ее масса в начальный момент равна m₀.

Ракета движется в отсутствие внешних сил, выпуская непрерывную струю газа со скоростью u, постоянной относительно ракеты. Найти скорость ракеты v в момент, когда ее масса равна m, если в начальный момент она имела массу m₀ и ее скорость была равна нулю. Воспользоваться формулой, приведенной в предыдущей задаче.

Частица массы m₁ испытала абсолютно упругое соударение с покоившейся частицей массы m₂, причем m₁ > m₂. Найти максимальный угол, на который может отклониться налетающая частица в результате соударения.

Замкнутая система состоит из двух частиц с массами m₁ и m₂, которые движутся под прямым углом друг к другу со скоростями v₁ и v₂. Найти в системе отсчета, связанной с их центром инерции: а) импульс каждой частицы; б) суммарную кинетическую энергию обеих частиц.

Частица массы m испытала столкновение с покоившейся частицей массы M, в результате которого частица m отклонилась на угол π/2, а частица M отскочила под углом ϑ = 30° к первоначальному направлению движения частицы m. На сколько процентов и как изменилась кинетическая энергия этой системы после столкновения, если M/m = 5,0?

Частица 1, имевшая скорость v = 10 м/с, испытала лобовое столкновение с покоившейся частицей 2 той же массы. В результате столкновения кинетическая энергия системы уменьшилась на η = 1,0%. Найти модуль и направление скорости частицы 1 после столкновения.

Снаряд, летящий со скоростью v = 500 м/с, разрывается на три одинаковые осколка так, что кинетическая энергия системы увеличивается в η = 1,5 раза. Какую максимальную скорость может иметь один из осколков?

Шар, двигавшийся поступательно, испытал упругое соударение с другим, покоившимся, шаром той же массы. При соударении угол между прямой, проходящей через центры шаров, и направлением первоначального движения налетающего шара оказался равным α = 45°. Считая шары гладкими, найти долю η кинетической энергии налетающего шара, которая перешла в потенциальную энергию в момент наибольшей деформации.

Частица 1 испытала абсолютно упругое столкновение с покоившейся частицей 2. Найти отношение их масс, если: а) столкновение лобовое и частицы разлетелись в противоположных направлениях с одинаковыми скоростями; б) частицы разлетелись симметрично по отношению к первоначальному направлению движения частицы 1 и угол между их направлениями разлета θ = 60°.

Частица массы m₁ испытала абсолютно упругое столкновение с покоившейся частицей массы m₂. Какую относительную часть кинетической энергии потеряла налетающая частица, если: а) она отскочила под прямым углом к своему первоначальному направлению движения; б) столкновение лобовое?

Найти приращение кинетической энергии замкнутой системы из двух шариков с массами m₁ и m₂ при их абсолютно неупругом столкновении, если до столкновения скорости шариков были v₁ и v₂.

Частица массы 1,0 г, двигавшаяся со скоростью v₁ = 3,0i - 2,0j, испытала абсолютно неупругое столкновение с другой частицей, масса которой 2,0 г и скорость v₂ = 4,0j - 6,0k. Найти скорость образовавшейся частицы — вектор v и его модуль, — если проекции векторов v₁ и v₂ даны в системе СИ.

Небольшая шайба массы m без начальной скорости соскальзывает с гладкой горки высотой h и попадает на доску массы M, лежащую у основания горки на гладкой горизонтальной плоскости (рис. 1.44). Вследствие трения между шайбой и доской шайба тормозится и, начиная с некоторого момента, движется вместе с доской как единое целое...

На гладкой горизонтальной плоскости находится тело массы M (рис. 1.43) и на нем небольшая шайба массы m. Последней сообщили в горизонтальном направлении скорость v. На какую высоту (по сравнению с первоначальным уровнем) поднимется шайба после отрыва от тела M? Трения нет.

Летевшая горизонтально пуля массы m попала, застряв, в тело массы M, которое подвешено на двух одинаковых нитях длины l (рис. 1.42). В результате нити отклонились на угол ϑ. Считая m << M, найти: а) скорость пули перед попаданием в тело; б) относительную долю первоначальной кинетической энергии пули, которая перешла в тепло.

Пушка массы M начинает свободно скользить вниз по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Когда пушка прошла путь l, произвели выстрел, в результате которого снаряд вылетел с импульсом p в горизонтальном направлении, а пушка остановилась. Пренебрегая массой снаряда по сравнению с массой пушки, найти продолжительность выстрела.

Цепочка массы m = 1,00 кг и длины l = 1,40 м висит на нити, касаясь поверхности стола своим нижним концом. После пережигания нити цепочка упала на стол. Найти полный импульс, который она передала столу.

На краю покоящейся тележки массы M стоят два человека, масса каждого из которых равна m. Пренебрегая трением, найти скорость тележки после того, как оба человека спрыгнут с одной и той же горизонтальной скоростью u относительно тележки: 1) одновременно; 2) друг за другом. В каком случае скорость тележки будет больше и во сколько раз?

Две одинаковые тележки движутся друг за другом по инерции (без трения) с одной и той же скоростью v₀. На задней тележке находится человек массы m. В некоторый момент человек прыгнул в переднюю тележку со скоростью u относительно своей тележки. Имея в виду, что масса каждой тележки равна M, найти скорости, с которыми будут двигаться обе тележки после этого.

Две одинаковые тележки 1 и 2, на каждой из которых находится по одному человеку, движутся без трения по инерции навстречу друг другу по параллельным рельсам. Когда тележки поравнялись, с каждой из них на другую перепрыгнул человек — в направлении, перпендикулярном к движению тележек...

Система состоит из двух одинаковых кубиков, каждый массы m, между которыми находится сжатая невесомая пружина жесткости χ (рис. 1.41). Кубики связаны нитью, которую в некоторый момент пережигают. Найти: а) при каких значениях Δl — начальном сжатии пружины — нижний кубик подскочит после пережигания нити; б) на какую высоту h поднимется центр тяжести этой системы, если сжатие пружины в начальном положении Δl = 7 mg/χ.

На гладкой горизонтальной плоскости находятся два бруска с массами m₁ и m₂, соединенные невесомой пружинкой жесткости χ (рис. 1.39). Брусок 2 переместили влево на небольшое расстояние x и отпустили. Найти скорость центра инерции системы после отрыва бруска 1 от стенки.

На гладкой горизонтальной плоскости находятся две небольшие шайбы с массами m₁ и m₂, которые соединены между собой невесомой пружинкой. Шайбам сообщили начальные скорости v₁ и v₂, направления которых взаимно перпендикулярны и лежат в горизонтальной плоскости. Найти полную энергию этой системы E в системе центра инерции.

В К-системе отсчета вдоль оси x движутся две частицы: одна массы m₁ — со скоростью v₁ другая массы m₂ — со скоростью v₂. Найти: а) скорость V K'-системы отсчета, в которой суммарная кинетическая энергия этих частиц минимальна; б) суммарную кинетическую энергию этих частиц в K'-системе.

Замкнутая цепочка А массы m = 0,36 кг соединена нитью с концом вертикальной оси центробежной машины (рис. 1.37) и вращается с постоянной угловой скоростью ω = 35 рад/с. При этом нить составляет угол ϑ = 45° с вертикалью. Найти расстояние от центра тяжести цепочки до оси вращения, а также натяжение нити.

Через блок, укрепленный к потолку комнаты, перекинута нить, на концах которой подвешены тела с массами m₁ и m₂. Массы блока и нити пренебрежимо малы, трения нет. Найти ускорение wC центра инерции этой системы.

Гладкий легкий горизонтальный стержень АВ может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец А. На стержне находится небольшая муфточка массы m, соединенная невесомой пружинкой длины l₀ с концом А. Жесткость пружинки равна χ. Какую работу надо совершить, чтобы эту систему медленно раскрутить до угловой скорости ω?

На горизонтальной плоскости лежит доска и на ней брусок массы m = 1,0 кг, соединенный с точкой О (рис. 1.35) легкой упругой недеформированной нитью длины l₀ = 40 см. Коэффициент трения между бруском и доской k = 0,20. Доску начали медленно перемещать вправо до положения, при котором брусок стал скользить по ней. Это произошло в момент, когда нить отклонилась от вертикали на угол ϑ = 30°...

На нити длины l подвешен шарик массы m. С какой наименьшей скоростью надо начать перемещать точку подвеса в горизонтальном направлении, чтобы шарик стал двигаться по окружности вокруг этой точки? Каково при этом натяжение нити в момент, когда она будет проходить горизонтальное положение?

Небольшое тело А начинает скользить с высоты h по наклонному желобу, переходящему в полуокружность радиуса h/2 (рис. 1.31). Пренебрегая трением, найти скорость тела в наивысшей точке его траектории (после отрыва от желоба).

Небольшая шайба А соскальзывает без начальной скорости с вершины гладкой горки высоты H, имеющей горизонтальный трамплин (рис. 1.30). При какой высоте h трамплина шайба пролетит наибольшее расстояние s? Чему оно равно?

Тело массы m пустили вверх по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Начальная скорость тела равна v₀, коэффициент трения — k. Какой путь пройдет тело до остановки и какова на этом пути работа силы трения?

Имеются два стационарных силовых поля: F = ayi и F = axi + byj, где i, j — орты осей x и y, a и b — постоянные. Выяснить, являются ли эти поля потенциальными.

Потенциальная энергия частицы в некотором поле имеет вид U = а/r² - b/r, где a и b — положительные постоянные, r - расстояние от центра поля. Найти...

Тело массы m начинают поднимать с поверхности Земли, приложив к нему силу F, которую изменяют с высотой подъема y по закону F = 2 (ay - 1) mg, где а — положительная постоянная. Найти работу этой силы и приращение потенциальной энергии тела в поле тяжести Земли на первой половине пути подъема.

Небольшое тело массы m находится на горизонтальной плоскости в точке О. Телу сообщили горизонтальную скорость v₀. Найти...

Частица массы m движется по окружности радиуса R с нормальным ускорением, которое меняется со временем по закону wn = at², где а — постоянная. Найти зависимость от времени мощности всех сил, действующих на частицу, а также среднее значение этой мощности за первые t секунд после начала движения.

Тело массы m бросили под углом α к горизонту с начальной скоростью v₀. Найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести за все время движения тела, и мгновенную мощность этой силы как функцию времени.