В начале поэмы мы находим в княгине неприемлемые качества для почётной дамы тех времён, а именно: упрямство, непослушание отцу, желание уйти от светской жизни. Лишь узнать суть произведения, мы начинаем восхищаться этими качествами, данными не каждой женщине в наше время...

На рисунке 118 а||b, с||d, ∠4=45°. Найдите углы 1, 2 и 3.

Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°. Найдите эти углы.

Угол АBС равен 70°, а угол BCD равен 110°. Могут ли прямые АВ и CD быть: а) параллельными; б) пересекающимися?

Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых а и b. Прямая, проходящая через середину О этого отрезка, пересекает прямые а и b в точках С и D. Докажите, что CO = OD.

Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей с, если: а) один из углов равен 150°; б) один из углов на 70° больше другого.

Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210°. Найдите эти углы.

На рисунке 115 AD||p и PQ||BC. Докажите, что прямая р пересекает прямые АВ, АЕ, АС, ВС и PQ.

Прямая р параллельна стороне АВ треугольника АВС. Докажите, что прямые ВС и АС пересекают прямую р.

Прямые а и b перпендикулярны к прямой р, прямая с пересекает прямую а. Пересекает ли прямая с прямую b?

Через точку, не лежащую на прямой р, проведены четыре прямые. Сколько из этих прямых пересекают прямую р, Рассмотрите все возможные случаи.

Дан треугольник АВС. Сколько прямых, параллельных стороне АВ, можно провести через вершину С?

Начертите треугольник АВС и отметьте точку D на стороне АС. Через точку D с помощью чертежного угольника и линейки проведите прямые, параллельные двум другим сторонам треугольника.

Начертите треугольник. Через каждую вершину этого треугольника с помощью чертежного угольника и линейки проведите прямую, параллельную противоположной стороне.

В треугольнике АВС угол А равен 40°, а угол ВСЕ, смежный с углом АСB, равен 80°. Докажите, что биссектриса угла ВСЕ параллельна прямой АВ.

Отрезок ВК — биссектриса треугольника АВС. Через точку К проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке М так, что ВМ=МК. Докажите, что КМ||АВ.

Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые АС и BD параллельны.

С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок на четыре равные части.

На стороне ВС треугольника АBС постройте точку, равноудаленную от вершин А и С.

Даны окружность, точки А, B и отрезок PQ. Постройте треугольник АБС так, чтобы вершина С лежала на данной окружности и AC=PQ.

Даны прямая а, точки А, B и отрезок PQ. Постройте треугольник АBС так, чтобы вершина С лежала на прямой а и AC=PQ.

Постройте окружность данного радиуса, проходящую через данную точку, с центром на данной прямой.

На боковых сторонах АВ и АС равнобедренного треугольника АВС отмечены точки Р и Q так, что ∠PXB=∠QXC, где X — середина основания ВС. Докажите, что BQ=CP.

Даны три точки А, B, С, лежащие на одной прямой, и точка B , не лежащая на этой прямой. Докажите, что по крайней мере два из трех отрезков AD, BD и CD не равны друг другу.

Даны два треугольника: АВС и A₁В₁С₁. Известно, что АВ=А₁В₁, АС=А₁С₁, ∠A=∠A₁ На сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки К и L, а на сторонах А₁С₁ и В₁С₁ треугольника А₁В₁С₁ — точки К₁ и L₁ так, что АK=А₁K₁, LC=L₁C₁. Докажите, что: a) KL=K₁L₁; б) AL=A₁L₁.

Докажите, что треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны, если АВ=А₁В₁, АС=А₁С₁, АМ=А₁М₁, где AM и А₁М₁ — медианы треугольников.

На сторонах угла XOY отмечены точки А, В, С и D так, что ОА=ОВ, AC=BD (рис. 97). Прямые AD и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что луч ОЕ — биссектриса угла XOY. Опишите способ построения биссектрисы угла, основанный на этом факте.

Докажите, что ΔABC=ΔA1BlC1 если ∠A=∠A1 ∠B=∠B1 BC= B1C1.

Докажите, что угол, смежный с углом треугольника, больше каждого из двух других углов треугольника.

На рисунке 96 AC=AD, AB перпендикулярна CD. Докажите, что BC=BD и ∠ACB=∠ADB.

В треугольниках АВС и ADC стороны ВС и AD равны и пересекаются в точке О, ∠OAC=∠OCA. Докажите, что треугольники АВО и С DO равны.

Докажите, что треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны, если АВ =А₁В₁, ∠A=∠A₁, AD = A₁D₁, где AD и А₁D₁ — биссектрисы треугольников.

На рисунке 95 OC=OD, ОВ=ОЕ. Докажите, что АВ =EF. Объясните способ измерения ширины озера (отрезка АВ на рисунке 95), основанный на этой задаче.

В треугольнике ABC ∠A= 38°, ∠B= 110°, ∠C=32°. На стороне АС отмечены точки D и Е так, что точка D лежит на отрезке АЕ, BD=DA, ВЕ=ЕС. Найдите угол DBE.

Стороны равностороннего треугольника АBС продолжены, как показано на рисунке 94, на равные отрезки AD, СЕ, BF. Докажите, что треугольник DЕЕ — равносторонний.

Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О. Точки М и N — середины отрезков АС и BD. Докажите, что точка О — середина отрезка MN.

Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О. На отрезках АС и BD отмечены точки К и К1 так, что АК = BK1. Докажите, что: а) ОК = ОК1; б) точка О лежит на прямой КК1.

На сторонах равностороннего треугольника АBС отложены равные отрезки AD, BE и CF, как показано на рисунке 93. Точки D, Е, F соединены отрезками. Докажите, что треугольник DEF — равносторонний.

Докажите, что середины сторон равнобедренного тре­угольника являются вершинами другого равнобедрен­ного треугольника.

На рисунке 92 треугольник ADE равнобедренный, DE — основание. Докажите, что: а) если ВВ=СЕ, то ∠CAD=∠BAE и АВ=АС; б) если ∠CAD=∠BAE, то BD = CE и АВ=АС.

В треугольниках АBС и А₁B₁С₁ медианы AM и А₁М₁ равны, BС=B₁С₁ и ∠AMB=∠A₁M₁B₁. Докажите, что ΔABC=ΔA₁B₁C₁.

Прямая а проходит через середину отрезка АВ и пер­пендикулярна к нему. Докажите, что: а) каждая точка прямой а равноудалена от точек А и B; б) каждая точ­ка, равноудаленная от точек А и B, лежит на прямой а.

Докажите, что два равнобедренных треугольника рав­ны, если боковая сторона и угол, противолежащий основанию, одного треугольника соответственно рав­ны боковой стороне и углу, противолежащему осно­ванию, другого треугольника.

Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана, проведенная к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного треугольника на 2 см больше периметра другого. Найдите боковую сторону данно­го треугольника.

В равнобедренном треугольнике основание больше бо­ковой стороны на 2 см, но меньше суммы боковых сторон на 3 см. Найдите стороны треугольника.

Периметр треугольника АВС равен 15 см. Сторона ВС больше стороны АВ на 2 см, а сторона АВ меньше сто­роны АС на 1 см. Найдите стороны треугольника.

С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) 45°; б) 22°30'.

Дан треугольник АВС. Постройте: а) биссектрису АК; б) медиану ВМ; в) высоту СН треугольника.

Дан тупой угол АОВ. Постройте луч ОХ так, чтобы углы ХОА и ХОВ были равными тупыми углами.

Даны острый угол ВАС и луч XY. Постройте угол YXZ так, чтобы ∠YXZ = 2∠BAC.

Даны окружность, точка А, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку М на окружности так, чтобы AM = PQ. Всегда ли задача имеет решение?

Даны прямая а, точка B, не лежащая на ней, и отре­зок PQ. Постройте точку М на прямой а так, чтобы ВМ = PQ. Всегда ли задача имеет решение?

На прямой даны две точки А и B. На продолже­нии луча BА отложите отрезок ВС так, чтобы ВС=2АВ.

На окружности с центром О отмечены точки А и B так, что угол АОB — прямой. Отрезок ВС — диа­метр окружности. Докажите, что хорды АB и АС равны.

Отрезки АB и CD — диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника AOD, если известно, что СВ = 13 см, АБ = 16 см.

Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружности. Найди­те ∠POM.

Отрезки АB и CD — диаметры окружности. Докажи­те, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС равны; в) ∠BAD = ∠BCD.

Какие из отрезков, изображенных на рисунке 90, являются: а) хордами окружности; б) диаметрами ок­ружности; в) радиусами окружности?

Равнобедренные треугольники ADC и BCD имеют об­ щее основание DC. Прямая АВ пересекает отрезок CD в точке О. Докажите, что: а) ∠ADB=∠ACB; б) DO = OC

В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ отрезки AD и A₁D₁ — биссектрисы, АВ=А₁В₁, BD = B₁D₁ и AD=A₁D₁. До­кажите, что ΔАВС=ΔА₁В₁С₁.

В треугольниках АВС и А₁B₁С₁ медианы ВМ и В₁М₁ равны, АВ =А₁B₁, АС=А₁С₁. Докажите, что ΔАВС = =ΔA₁B₁C₁.

На рисунке 76 АВ = CD, AD = ВС, BE — биссектриса угла ABC, a DF — биссектриса угла ADC. Докажите, что: а) ∠АВЕ = ∠ADF; б) ΔABE=ΔCDF.

На рисунке 75 AB = CD и BD=АС. Докажите, что: a) ∠CAD=∠ADB; б) ∠BAC=∠CDB.

На рисунке 53 (с. 31) BC=AD, AB = CD. Докажите, что ∠B=∠D.

На рисунке 52 (с. 31) АВ =АС, BD = DC и ∠BAC = 50°. Найдите ∠CAD.

Докажите, что если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого равносторонне­го треугольника, то треугольники равны.

Докажите,  что  равнобедренные  треугольники равны, если основание и прилежащий к нему угол одного треугольника соответственно равны основанию и прилежащему к нему углу другого треуголь­ника.

Докажите, что если биссектриса треугольника сов­падает с его высотой, то треугольник — равнобед­ренный.

Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, пе­ресекает стороны угла в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN — равнобедренный.

В треугольниках DEF и MN PEF=NP, DF=MP и ∠F=∠P. Биссектрисы углов E и D пересекаются в точке О, а биссектрисы углов М и N — в точке К. Докажите, что ∠DOE=∠MKN.

В треугольниках АВС и А1В1С1 отрезки СО и С1О1 — медианы, ВС=В1С1, ∠B = ∠B1 и ∠C=∠C1. Докажите, что: а) ΔACO=ΔA1C1O1; б) ΔBCO=ΔB1C1O1.

Отрезки АС и ВD пересекаются в середине О отрезка AC, ∠BCO = ∠DAO. Докажите, что ΔBOA=ΔDOC.

Докажите, что в равных треугольниках биссектри­сы, проведенные к соответственно равным сторонам, равны.

В треугольниках АВС и А₁В₁С₁ АВ=А₁В₁, ВС=В₁С₁, ∠B =∠B₁. На сторонах АВ и А₁В₁ отмечены точки D и D₁, так, что ∠ACD = ∠A₁C₁D₁. Докажите, что ΔВСD = ΔB₁C₁D₁.

На рисунке 74 ∠DAB = ∠CBA, ∠CAB = ∠DBA, АС=13см. Найдите ВD.

На рисунке 74 ∠DAC=∠DBC, АО=ВО. Докажите, что ∠C=∠D и AC=BD.

По данным рисунка 73 докажите, что OP=OT, ∠P=∠T.

На биссектрисе угла А взята точка D , а на сторонах этого угла— точки В и С такие, что ∠ADB=∠ADC. Докажите, что ВD=СD.

На рисунке 53 (с. 31) ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4. а) Докажите, что ΔАВС=ΔCDA; б) найдите АВ и BС, если АD= 19 см, СD=11 см.

Отрезки АВ и CD пересекаются в середине О отрезка AB, ∠OAD = ∠OBC. а) Докажите, что ΔСВО=ΔDAO; б) найдите ВС и СО, если СD=26 см, АD= 15 см.

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана BD. На сторонах АВ и СВ отмече­ны соответственно точки E и F так, что АЕ= CF. Дока­жите, что: a) ΔBDE=ΔBDF; б)ΔADE=ΔCDF

В равнобедренном треугольнике DEK с основанием DK=16см отрезок EF - биссектриса, ∠DEF=43°. Найдите KF, ∠DEK, ∠EFD.

На основании ВС равнобедренного треугольника АВС отмечены точки M и N так, что ВМ = CN. Докажите, что: а) ΔВАМ = ΔCAN ; б) треугольник AMN равно­бедренный.

На рисунке 67 АВ = ВС, CD = DE. Докажите, что ∠BAC = ∠CED.

Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны.

Медиана AM треугольника АВС равна отрезку ВМ. Докажите, что один из углов треугольника АВС ра­вен сумме двух других углов.

Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведенные к равным сторонам, равны.

Точки М и Р лежат по одну сторону от прямой b. Перпендикуляры MN и PQ, проведенные к прямой b, равны. Точка О — середина отрезка NQ. а) Дока­ жите, что ∠OMP = ∠OPM; б) найдите ∠NOM, если ∠MOP = 105°.

На рисунке 66 АВ = ВС, ∠1=130°. Найдите ∠2.

На рисунке 65 СD = ВD, ∠1=∠2. Докажите, что тре­угольник АВС равнобедренный.

Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана AM. Найдите медиану AM, если периметр треугольника АВС равен 32 см, а пе­ риметр треугольника АВМ равен 24 см.

Периметр равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС равен 40 см, а периметр равносто­ роннего треугольника BCD равен 45 см. Найдите стороны АВ и ВС.