Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник — прямоугольник.

Докажите, что параллелограмм, один из углов которого прямой, является прямоугольником.

Постройте прямоугольную трапецию ABCD по основаниям и боковой стороне AD, перпендикулярной к основаниям.

Постройте равнобедренную трапецию ABCD: а) по основанию AD, углу А и боковой стороне АВ; б) по основанию ВС, боковой стороне АВ и диагонали BD.

Даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм так, чтобы три его вершины совпадали с данными точками. Сколько таких параллелограммов можно построить?

Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренной трапеции, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.

Один из углов равнобедренной трапеции равен 68°. Найдите остальные углы трапеции.

Докажите, что трапеция равнобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагонали трапеции равны.

Докажите, что в равнобедренной трапеции: а) углы при каждом основании равны; б) диагонали равны.

Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции.

На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки Р и Q так, что PB=QD. Докажите, что четырехугольник APCQ — параллелограмм.

На сторонах АВ, ВС, CD и DA четырехугольника ABCD отмечены соответственно точки М, N, Р и Q так, что АМ=СР, BN=DQ, BM=DP, NC=QA. Докажите, что ABCD и MNPQ — параллелограммы.

Из вершин В и D параллелограмма ABCD, у которого АВ ≠ ВС и угол А острый, проведены перпендикуляры ВК и DM к прямой АС. Докажите, что четырехугольник BMDK — параллелограмм.

Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.

Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр этого параллелограмма, если ВК= 15 см, КС=9 см.

Периметр параллелограмма равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма, если: а) одна сторона на 3 см больше другой; б) разность двух сторон равна 7 см; в) одна из сторон в два раза больше другой.

Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.

Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они равны друг другу.

Найдите стороны четырехугольника, если его периметр равен 66 см, первая сторона больше второй на 8 см и на столько же меньше третьей стороны, а четвертая — в три раза больше второй.

Найдите стороны четырехугольника, если его периметр равен 8 см, а одна сторона больше каждой из других сторон соответственно на 3 мм, 4 мм и 5 мм.

Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен: а) 90°; б) 60°; в) 120°; г) 108°?

Найдите сумму углов выпуклого: а) пятиугольника; б) шестиугольника; в) десятиугольника.

Начертите выпуклые пятиугольник и шестиугольник. В каждом многоугольнике из какой-нибудь вершины проведите все диагонали. На сколько треугольников разделяют проведенные диагонали каждый многоугольник?

Дан треугольник АВС с прямым углом А. На стороне АВ постройте точку М, находящуюся на расстоянии AM от прямой ВС.

Постройте треугольник по стороне, высоте и медиане, проведенным к этой стороне.

Постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведенным из вершины этого угла.

Дан треугольник АВС. Постройте отрезок DE, параллельный прямой АС, так, чтобы точки D и Е лежали на сторонах АВ и ВС и DE=AD + СЕ.

Постройте треугольник по стороне, высоте, проведенной к ней, и медиане, проведенной к одной из двух других сторон.

С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) 30°; б) 60°; в) 15°; г) 120°; д) 150°; е) 135°; ж) 165°; з) 75°; и) 105°.

Постройте прямоугольный треугольник по:
а) гипотенузе и острому углу;
б) катету и противолежащему углу;
в) гипотенузе и катету.

Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.

Отрезок соединяет вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне. Докажите, что этот отрезок меньше большей из двух других сторон.

Что представляет собой множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от двух данных пересекающихся прямых?

Докажите, что в равных треугольниках высоты, проведенные к равным сторонам, равны.

В треугольнике с неравными сторонами АВ и АС проведены высота АН и биссектриса AD. Докажите, что угол HAD равен полуразности углов B и С.

В равнобедренном треугольнике АBС с основанием АС, равным 37см, внешний угол при вершине B равен 60°. Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ.

В прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла. Докажите, что данный треугольник и два образовавшихся треугольника имеют соответственно равные углы.

Докажите, что если АВ=АС + СB, то точки А, B и С лежат на одной прямой.

Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника.

Докажите, что если точка М лежит внутри треугольника АБС, то МВ+МС < АВ+АС.

Докажите, что в треугольнике АВС медиана AM меньше полусуммы сторон АВ и АС. Указание. Продолжите медиану AM за точку М на отрезок AD, равный AM, и рассмотрите треугольник ABD.

Докажите, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведенной из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника, а основания высот, проведенных из вершин острых углов, — на продолжениях сторон.

На рисунке 146 АВ=АС, AP=PQ =QR =RB =ВС. Найдите угол А.

На рисунке 145 AD||BE, AC=AD и ВС=ВЕ. Докажите, что угол DCE — прямой.

На стороне AD треугольника ADC отмечена точка В так, что ВС=ВD. Докажите, что прямая DC параллельна биссектрисе угла АВС.

В равнобедренном треугольнике АВС биссектрисы равных углов В и С пересекаются в точке О. Докажите, что угол ВОС равен внешнему углу треугольника при вершине В.

Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из этих сторон.

Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведенной к одной из этих сторон.

Постройте равнобедренный треугольник: а) по боковой стороне и углу, противолежащему основанию;б) по основанию и углу при основании; в) по боковой стороне и углу при основании; г) по основанию и боковой стороне; д) по основанию и медиане, проведенной к основанию.

Постройте прямоугольный треугольник: а) по двум катетам; б) по катету и прилежащему к нему острому углу.

Постройте треугольник по стороне, медиане, проведенной к одной из двух других сторон, и углу между данными стороной и медианой.

Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведенной из вершины этого угла.

Даны пересекающиеся прямые а и b и отрезок PQ. На прямой а постройте точку, удаленную от прямой b на расстояние PQ.

Что представляет собой множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой?

Что представляет собой множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных параллельных прямых?

Даны неразвернутый угол АВС и отрезок PQ. Что представляет собой множество всех точек, лежащих внутри данного угла и удаленных от прямой ВС на расстояние PQ?

Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудаленные от нее, лежат на прямой, параллельной данной.

Расстояние между параллельными прямыми а и b равно 3 см, а между параллельными прямыми а и с равно 5 см. Найдите расстояние между прямыми b и с.

Через середину отрезка проведена прямая. Докажите, что концы отрезка равноудалены от этой прямой.

На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята точка М, равноудаленная от боковых сторон. Докажите, что СМ — высота треугольника АВС.

Докажите, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от боковых сторон.

Сумма гипотенузы СЕ и катета CD прямоугольного треугольника CDE равна 31 см, а их разность равна 3 см. Найдите расстояние от вершины С до прямой DE.

В равностороннем треугольнике АВС проведена биссектриса AD. Расстояние от точки D до прямой АС равно 6 см. Найдите расстояние от вершины А до прямой ВС.

Из точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, сумма длин которых равна 17 см, а разность длин равна 1 см. Найдите расстояние от точки до прямой.

Внутри угла дана точка А. Постройте прямую, проходящую через точку А и отсекающую на сторонах угла равные отрезки.

Сформулируйте и докажите признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.

Докажите, что два остроугольных треугольника равны, если сторона и высоты, проведенные из концов этой стороны, одного треугольника соответственно равны стороне и высотам, проведенным из концов этой стороны, другого треугольника.

На сторонах угла О отмечены точки А и В так, что ОА=ОВ. Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла и пересекающиеся в точке С. Докажите, что луч ОС — биссектриса угла О.

Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведенные из вершин основания, равны.

Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 7,6 см, а боковая сторона треугольника равна 15,2 см. Найдите углы этого треугольника.

Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведенная к боковой стороне, равна 9 см. Найдите основание треугольника.

Из середины D стороны ВС равностороннего треугольника АВС проведен перпендикуляр DM к прямой АС. Найдите AM, если АВ = 12 см.

В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°, АС+АВ=18 см. Найдите АС и АВ.

Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.

Периметр равнобедренного треугольника равен 25 см, разность двух сторон равна 4 см, а один из его внешних углов — острый. Найдите стороны треугольника.

Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 74 см, а одна из сторон равна 16 см. Найдите две другие стороны треугольника.

Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведенной из той же вершины.

Докажите, что в равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий любую точку основания, отличную от вершины, с противоположной вершиной, меньше боковой стороны.

Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 115°. Найдите углы треугольника.

Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию.

Верно ли утверждение: если треугольник равнобедренный, то один из его внешних углов в два раза больше угла треугольника, не смежного с этим внешним углом?

Медиана AM треугольника АВС равна половине стороны ВС. Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.

Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен: а) 40°; б) 60°; в) 100°.

Найдите углы равнобедренного треугольника, если: а) угол при основании в два раза больше угла, противолежащего основанию; б) угол при основании в три раза меньше внешнего угла, смежного с ним.

Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника острые.

Докажите, что каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

Даны прямая а и точка А, не лежащая на ней. С помощью циркуля и линейки через точку А проведите прямую, параллельную прямой а.

Даны треугольник АВС и точки М и N такие, что середина отрезка ВМ совпадает с серединой стороны АС, а середина отрезка CN — с серединой стороны АB. Докажите, что точки М, N и А лежат на одной прямой.

Докажите, что если при пересечении двух прямых а и b секущей накрест лежащие углы не равны, то прямые а и b пересекаются.

Даны две прямые а и b. Докажите, что если любая прямая, пересекающая прямую а, пересекает и прямую b, то прямые а и b параллельны.

Прямые а и b пересекаются. Можно ли провести такую прямую, которая пересекает прямую а и параллельна прямой b? Ответ обоснуйте.

Прямые а и b параллельны прямой с. Докажите, что любая прямая, пересекающая прямую а, пересекает также и прямую b.

На рисунке 123 DE — биссектриса угла ADF. По данным рисунка найдите углы треугольника АDЕ.

Прямая, проходящая через середину биссектрисы АD треугольника АВС и перпендикулярная к АD, пересекает сторону АС в точке М. Докажите, что МЛ||АВ.

На рисунке 121 CE=ED, BE=EF и КЕ||АD. Докажите, что KE||BC.

Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисы накрест лежащих углов параллельны; б) биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.