а) Решите уравнение: sin^2 х + sin^2 π/6 = cos^2 2х + cos...

Задание:

а) Решите уравнение: sin² х + sin² π/6 = cos² 2х + cos² π/3.

б) Укажите все корни, принадлежащие промежутку [7π/2; 9π/2].

Решение:

Так как sin π/6 = cos π/3 , то sin² π/6 = cos² π/3 , значит, заданное уравнение равносильно уравнению sin² x = cos² 2x, которое, в свою очередь, равносильно уравнению sin² x − cos² 2x = 0.

Но sin² x − cos² 2x = (sin x − cos 2x) * (sin x + cos 2x) и

cos 2x = 1 − 2 sin² x, поэтому уравнение примет вид

(sin x − (1 − 2 sin² x)) * (sin x + (1 − 2 sin² x)) = 0,

(2 sin² x + sin x − 1) * (2 sin² x − sin x − 1) = 0.

Тогда либо 2 sin² x + sin x − 1 = 0, либо 2 sin² x − sin x − 1 = 0.

Решим первое уравнение как квадратное относительно sin x,

(sin x)_1,2 = (−1 ± √ 9) / 4 = (−1 ± 3) / 4. Поэтому либо sin x = −1, либо sin x = 1/2 . Если sin x = −1, то x = 3π/2 + 2kπ, k ∈ Z. Если sin x = 1/2 , то либо x = π/6 + 2sπ, s ∈ Z, либо x = 5π/6 + 2tπ, t ∈ Z.

Аналогично, решая второе уравнение, получаем либо sin x = 1, либо sin x = − 1/2 . Тогда x = π/2 + 2mπ, m ∈ Z, либо x = −π/6 + 2nπ, n ∈ Z, либо x = −5π/6 + 2pπ, p ∈ Z.

Объединим полученные решения: x = π/2 + mπ, m ∈ Z; x = ± π/6 + sπ, s ∈ Z.

б) Выберем корни, которые попали в заданный промежуток с помощью числовой окружности.

Получим: x₁ = 7π/2 , x₂ = 23π/6 , x₃ = 25π/6.

Ответ: а) π/2 + mπ, m ∈ Z; ± π/6 + sπ, s ∈ Z; б) 7π/2 , 23π/6 , 25π/6.