Решите уравнение tg^2 x + 5tgx + 6 = 0..
Категория: Задание 13 ЕГЭ по математике (Уравнения)
Задание:
а) Решите уравнение tg2x + 5tgx + 6 = 0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2π;-π/2]
Решение:
а) tg2x + 5tgx + 6 = 0
Для удобства заменим тангенс на t. (tgx = t), тогда
t2 + 5t + 6 = 0
Получили обычное квадратное уравнение. Найдем корни уравнения по теореме Виета: (можно искать и через дискриминант, кому как удобно):
t1 + t2 = -5
t1 * t2 = 6
Получаем, что:
t1 = -2
t2 = -3
(через дискриминант вы получите те же t1 и t2)
Делаем обратную замену, то есть заменим t на тангенс:
tgx = t1 tgx = t2
tgx = -2 tgx = -3
Отсюда:
x = -arctg2 + πn, n Є Z x = -arctg3 + πk, k Є Z
б) Сделаем замену для подбора корней: (-arctg2 и -arctg3 - это приблизительно -π/3)
x = -π/3 + πn, n Є Z x = -π/3 + πk, k Є. Z
Выходит, что у этих уравнений одинаковые корни, решим только одно из них:
x = -π/3 + πn, n Є Z
Воспользуемся методом перебора n, для нахождения корней.
Пусть n = 0, подставляем в x:
x = -π/3 + π * 0 = -π/3 + 0 = -π/3 - Не принадлежит нашему отрезку [-2π;-π/2];
Пусть n = -1
x = -π/3 + π *(-1) = -π/3 - π = -4π/3 - Принадлежит нашему отрезку [-2π;-π/2];
Больше корней нет, делаем обратную замену -π/3 на -arctg2 и -arctg3, получаем при n = -1:
-arctg2 - π; -arctg3 - π
Ответ: а) x = -arctg2 + πn, n Є Z.
x = -arctg3 + πk, k Є Z.
б) -arctg2 - π ; -arctg3 - π.