На однородный сплошной цилиндр массы M и радиуса R намотана легкая нить, к концу которой прикреплено тело массы m (рис. 1.55). В момент t = 0 система пришла в движение. Пренебрегая трением в оси цилиндра, найти зависимость от времени: а) угловой скорости цилиндра; б) кинетической энергии всей системы.

Исходя из формулы для момента инерции однородного шара, найти момент инерции тонкого сферического слоя массы m и радиуса R относительно оси, проходящей через его центр.

Однородный диск радиуса R = 20 см имеет круглый вырез, как показано на рис. 1.54. Масса оставшейся (заштрихованной) части диска m = 7,3 кг. Найти момент инерции такого диска относительно оси, проходящей через его центр инерции и перпендикулярной к плоскости диска.

Показать, что для тонкой пластинки произвольной формы имеется следующая связь между моментами инерции: I₁ + I₂ = I₃, где 1, 2, 3 — три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через одну точку, причем оси 1 и 2 лежат в плоскости пластинки...

Найти момент инерции: а) тонкого однородного стержня относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его конец, если масса стержня m и его длина l; б) тонкой однородной прямоугольной пластинки относительно оси, проходящей перпендикулярно к плоскости пластинки через одну из ее вершин, если стороны пластинки a и b, а ее масса m.

К точке с радиус-вектором r₁ = ai приложена сила F₁ = Аj, а к точке с r₂ = bj — сила F₂ = Bi. Здесь оба радиус-вектора определены относительно начала координат O, i и j — орты осей x и y, а, b, А и В — постоянные. Найти плечо l равнодействующей силы относительно точки O.

Тонкий однородный стержень АВ массы m = 1,0 кг движется поступательно с ускорением w = 2,0 м/с² под действием двух антипараллельных сил F₁ и F₂ (рис. 1.52). Расстояние между точками приложения этих сил a = 20 см. Кроме того, известно, что F₂ = 5,0 Н. Найти длину стержня.