Определить кратность корня x0 многочлена f(x)...
Категория: Математика
Задание:
Определить кратность корня x0 многочлена f(x)
f(x) = x5 - 5x4 + 7x3 - 2x2 + 4x - 8, x0 = 2;
Решение:
Метод первый: производными
f(2) = 25 - 5*24 + 7*23 - 2*22 + 4*2 - 8 = 32 - 80 + 56 - 8 + 8 - 8 = 88 - 80 - 8 = 0
Первая производная:
f'(x) = 5x4 - 20x3 + 21x2 - 4x + 4
f'(2) = 5 * 24 - 20*23 + 21*22 - 4*2 + 4 = 80 - 160 + 84 - 8 + 4 = 164 - 160 - 8 + 4 = 0
Вторая производная:
f''(x) = 20x3 - 60x2 + 42x - 4
f''(2) = 20 * 23 - 60*22 + 42*2 - 4 = 160 - 240 + 84 - 4 = 244 - 244 = 0
Третья производная:
f'''(x) = 60x2 - 120x + 42
f'''(2) = 60*22 - 120*2 + 42 = 240 - 240 + 42 = 42, не равно нулю => кратность равна количеству найденных производных.
Ответ: 3
Метод второй: схема Горнера:
| 1 | -5 | 7 | -2 | 4 | -8 | |
| 2 | 1 | -3 | 1 | 0 | 4 | 0 |
| 2 | 1 | -1 | -1 | -2 | 0 | |
| 2 | 1 | 1 | 1 | 0 | ||
| 2 | 1 | 3 | 7 | |||
| 2 | 1 |
Как видно из схемы Горнера количество нулей равно 3, следовательно и кратность равна 3. Схема Горнера метод намного удобнее, если x0 - число больше 2, производными считать труднее.
Ответ: 3