Разложить многочлен f(x) по степеням x- x0...

Задание:

Разложить многочлен f(x) по степеням x- x₀ и найти значение его производной в точке x₀.

f(x) = x⁵ - 4x³ + 6x² - 8x + 10, x₀ = 2;

Решение:

Найдем значение функции в точке x₀:

f(2) = (2-2)⁵ + 10(2-2)⁴ + 36(2-2)³ + 62(2-2)² + 48(2-2) + 18 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 18 = 18

Первая производная:
f'(x) = 5(x-2)⁴ + 40(x-2)³ + 108(x-2)² + 124(x-2) + 48
f'(2) = 5(2-2)⁴ + 40(2-2)³ + 108(2-2)² + 124(2-2) + 48 = 0 + 0 + 0 + 0 + 48 = 48

Вторая производная:
f''(x) = 20(x-2)³ + 120(x-2)² + 216(x-2) + 124
f''(2) = 20(2-2)³ + 120(2-2)² + 216(2-2) + 124 = 0 + 0 + 0 + 124 = 124

Третья производная:
f'''(x) = 60(x-2)² + 240(x-2) + 216
f'''(x) = 60(2-2)² + 240(2-2) + 216 = 0 + 0 + 216 = 216

Четвертая производная:
f⁴(x) = 120(x-2) + 240
f⁴(2) = 120(2-2) + 240 = 0 + 240= 240

Пятая производная:
f⁵(x) = 120
f⁵(2) = 120