Главная » В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1...
18:36

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1...


Задание:

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 на ребре AD взята точка F так, что AF : FD = 1:3.

а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки В1 и F параллельно диагонали АС.

б) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания, если
ВВ1 — 5√6, АВ = 8.

Решение:

а) По условию ABCDA1B1C1D1 — правильная призма, это означает, что основание ABCD — квадрат и боковые грани — равные прямоугольники.

Построим сечение призмы плоскостью, проходящей через точки B1 и F параллельно AC. В плоскости ABC через точку F проведём прямую FE, параллельную диагонали AC. Прямая FE пересекает луч BA в точке M, а луч BC в точке N. Из точки B1 в плоскости ABB1 и в плоскости CBB1 проведём лучи B1M и B1N. Эти лучи пересекут рёбра AA1 и CC1 в точках K и P соответственно. Пятиугольник FKB1PE — искомое сечение.

б) Найдём угол между плоскостью сечения и плоскостью основания. Плоскость сечения пересекает плоскость основания по прямой MN, MN || AC по построению, BD ⊥ AC как диагонали квадрата, MN пересекает BD в точке L, BL ⊥ MN, значит, BL ⊥ FE, BL — проекция наклонной B1L на плоскость ABC, тогда по теореме, обрат- ной теореме о трёх перпендикулярах, B1L ⊥ EF, следовательно, ∠BLB1 — линейный угол двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. В прямо- угольном треугольнике BLB1 tg ∠BLB1 = BB1 / BL . Найдём BL.

ΔAOD ∼ ΔFLD по первому признаку подобия (∠O = ∠L = 90◦ , ∠D — общий). Из подобия следует AD / FD = OD / LD , LD = (FD * OD) / AD.

Найдём FD и OD. По условию AF : F D = 1 : 3, значит,

FD = 3/4 * AD = 3 * 8/4 = 6.

BD = 8√2 как диагональ квадрата, OD = 1/2 * BD = 4√2.

Тогда LD = (6 * 4√2) / 8 = 3√2.

BL = BD − LD = 8√2 − 3√2 = 5√2,

tg BLB1 = 5√6 / 5√2 = √3,

∠BLB1 = 60◦.

Ответ: 60◦.

 


Похожие материалы:
Нашли ошибку на сайте? Напишите в комментариях!
Категория: Задание 14 ЕГЭ по математике (Стереометрическая задача) | Просмотров: 26 | | Рейтинг: 5.0/1