Главная » В правильной треугольной пирамиде BMNK с осн...
23:35

В правильной треугольной пирамиде BMNK с осн...


Задание:

В правильной треугольной пирамиде BMNK с основанием MNK сторона основания равна 6 , а высота пирамиды равна 3. На рёбрах MN, МК и МВ соответственно отмечены точки F, Е и Р, такие, что MF = ME = √ 21 / 2 и МР = 7/4.

а) Докажите, что плоскости FEP и NBK параллельны.

б) Найдите расстояние от точки Р до плоскости NBK .

Решение:

а) Чтобы доказать, что плоскости FEP и NKB параллельны, достаточно показать, что две пересекающиеся прямые PF и FE плоскости FEP соответственно параллельны двум пересекающимся прямым BN и NK плоскости BNK. Покажем это.

Найдём боковое ребро MB из треугольника MBO:

Отношения сторон равны. Используя условие, что ∠BMN общий, получим: ΔMPF ∼ ΔMBN. Из подобия треугольников следует, что ∠MPF = ∠MBN. Эти углы — соответственные, образованные при пересечении двух прямых PF и BN прямой MB. Значит, PF || BN. 2. Рассматривая треугольники MEF и MKN, можно аналогично доказать, что FE || NK. Так как две пересекающиеся прямые PF и FE плоскости PFE соответственно параллельны двум пересекающимся прямым BN и NK плоскости NBK, то эти плоскости параллельны.

б) В ΔMKN MO1 — высота, MO1 = a √3 / 2 , где a — сторона ΔABC

MO1 = 6 √3 / 2 = 3 √3.

Пусть O2 — точка пересечения MO1 и FE. Поскольку плоскость PFE параллель- на плоскости BNK, то расстояние от точки P до плоскости BNK равно расстоянию от точки O2 до плоскости BNK, и оно равно длине отрезка O2H, где точка H лежит на BO1 и O2H ⊥ BO1. Докажем, что O2H — расстояние от O2 до плоскости BNK.

NK ⊥ MO1 и NK ⊥ BO1 (MO1 и BO1 — высоты ΔMNK и ΔNBK), значит, NK перпендикулярна плоскости MBO1, и тогда NK перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в том числе NK ⊥ O2H. По построению O2H ⊥ BO1. Прямая O2H перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости BNK, значит, она перпендикулярна BNK, и отрезок O2H равен расстоянию от O2 до плоскости BNK.

В треугольнике O2HO1: O2H = O2O1 sin ∠HO1O2.

O2O1 = MO1 − MO2.

Из ΔMEO2: ∠MO2E = 90◦ , ∠EMO2 = 30◦ ;

Ответ: 3(12 - √21) / 8.

 


Похожие материалы:
Нашли ошибку на сайте? Напишите в комментариях!
Категория: Задание 14 ЕГЭ по математике (Стереометрическая задача) | Просмотров: 144 | | Рейтинг: 5.0/1