Главная » В правильной четырёхугольной призме MNPQM1N1P1...
15:57

В правильной четырёхугольной призме MNPQM1N1P1...


Задание:

В правильной четырёхугольной призме MNPQM1N1P1Q1 сторона основания равна 11, а боковое ребро равно 15. На рёбрах M1Q1, M1N1 и PQ взяты точки X , Y, Z, соответственно так, что Q1X = N1Y = QZ = 5.

а) Пусть С — точка пересечения плоскости XYZ с ребром PN . Докажите, что XYZC — прямоугольник.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью XYZ.

Решение:

а) Найдём положение точки C. Эта точка пересечения плоскости XYZ и ребра PN, лежащего в плоскости MNPQ (см. рис.). Плоскость MNPQ параллельна плоскости M1N1P1Q1, в которой лежит отрезок XY . Плоскость XYZ пересекает параллельные плоскости MNPQ и M1N1P1Q1 по параллельным прямым, отсюда XY || ZC. Прямоугольные треугольники YXM1 и ZCP равны по катету и острому углу (M1Y = PZ = 6 и ∠M1YX = ∠PZC как острые с соответственно параллельными сторонами). Чтобы доказать, что четырёхугольник XYCZ — прямоугольник, найдём длины его сторон и диагонали.

Противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, значит, это параллелограмм. Проведём N1N2 || YZ, тогда

Диагонали параллелограмма равны, следовательно, FKLP — прямоугольник.

б) Пусть D и T — точки пересечения прямой XY и прямых Q1P1 и P1N1. Проведём прямые DZ и TC, они пересекут рёбра QQ1 и NN1 в точках A и B соответственно (см. рис.). D — точка пересечения прямых XY и AZ. Тогда DQ1 = Q1X = QZ. Легко доказать, что треугольники DQ1A и ZQA равны и AQ = AQ1. Поэтому прямая DZ, а значит, и плоскость XYZ пересекают ребро QQ1 в его середине — точке A. Аналогично плоскость XYZ пересекает ребро NN1 в его середине — точке B.

В диагональном сечении QQ1N1N, которое является прямоугольником, отрезок AB — средняя линия. В прямоугольнике QABN противоположные стороны равны: AB = QN = 11√ 2.

Сечение XYBCZA состоит из двух равных трапеций AXYB и AZCB, причём мы доказали, что ZX XY и ZX ZC. Высота каждой из этих трапеций равна ZX / 2 = 5 √11 / 2 .

Ответ: 85√22 / 2 .


Похожие материалы:
Нашли ошибку на сайте? Напишите в комментариях!
Категория: Задание 14 ЕГЭ по математике (Стереометрическая задача) | Просмотров: 44 | | Рейтинг: 5.0/1