Главная » В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стор...
17:25

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стор...


Задание:

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона основания АВ равна 8√3, а боковое ребро АА1 = 6 . На ребре В1Сотмечена точка L так, что В1L = 2√3. Точки К и М — середины рёбер АВ и А1С1 соответственно. Плоскость γ параллельна прямой АС и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка М , а основание — сечение данной призмы плоскостью γ.

Решение:

а) 1. Построим сечение призмы плоскостью γ.

Плоскость ABC проходит через прямую AC, параллельную плоскости γ, и пересекает её (K — общая точка этих плоскостей), следовательно, линия пересечения этих плоскостей параллельна прямой AC. В плоскости ABC построим среднюю линию KN. Аналогично в плоскости A1B1C1 проведём LF || A1C1. FKNL — сечение призмы плоскостью γ.

2. Докажем, что BM ⊥ γ.

Проведём MT || AA1. Плоскость BTM перпендикулярна прямой AC. Действительно, AC перпендикулярна двум пересекающимся прямым (MT, BT) плоскости BTM. Следовательно, BM ⊥ AC, значит, BM ⊥ KN.

Докажем теперь, что MB ⊥ OO1. Рассмотрим прямоугольник BTMB1.

MT = 6, B1O1 = 3, BT = 12 (высоты правильных треугольников B1FL и ABC соответственно). Введём систему координат и найдём скалярное произведение векторов .

M(0; 6), B(12; 0), ; O(6; 0), O1(9; 6) , .

 = 12 · 3 + (−6) · 6 = 0. Это означает, что векторы  перпендикулярны, следовательно, MB ⊥ OO1. Итак, MB перпендикулярна двум пересекающимся прямым KN и OO1 плоскости γ, а значит, MB ⊥ γ.

б) ΔMHO1ΔOO1G как прямоугольные треугольники с равными острыми углами, ∠MO1H = ∠GOO1 как накрест лежащие при MB1 || BT и секущей OO1. Из этого следует, что MO1/OO1 = MH/O1G , MO1 = 9, O1G = 6, OO1 найдём по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника OO1G.

OO1 =  

9 · 6 = 3√5MH, откуда MH = 18√5 / 5 . MH — высота пирамиды MKNLF. Площадь равнобедренной трапеции KNLF с основаниями KN и LF и высотой OO1 равна (KN + LF)/ 2 * OO1. KN — средняя линия треугольника ABC, KN = 1/2 * AB = 4√3. LF — сторона правильного треугольника LB1F (LF || A1C1), поэтому LF = LB1 = 2√3.  

Ответ: б) 54√3.

 


Похожие материалы:
Нашли ошибку на сайте? Напишите в комментариях!
Категория: Задание 14 ЕГЭ по математике (Стереометрическая задача) | Просмотров: 28 | | Рейтинг: 5.0/1