а) Решите уравнение 0,2^(2cos x - 1) - 26 * 0,2^(cos x -...

Задание:

а) Решите уравнение  

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [- π; 3π/2].

Решение:

а) Запишем уравнение в виде 5 * 0,2^{2 cos x} − 26√5 * 0,2^{cos x} + 25 = 0. После замены t = 0,2^{cos x} исходное уравнение примет вид 5t² − 26√5t + 25 = 0. Корни этого уравнения t = 5√5,t = √ 1/5 . Возвращаясь к переменной x, получим:

Первое уравнение совокупности не имеет корней. Решая второе уравнение, получим: x = ± π/3 + 2πn, n ∈ Z.

б) Запишем решение уравнения в виде x = π/3 + 2πk, k ∈ Z или x = − π/3 + 2πn, n ∈ Z и выясним, для каких целых значений n и k справедливы неравенства

−π ≤ − π/3 + 2πn ≤ 3π/2 и −π ≤ π/3 + 2πk ≤ 3π/2.

Получим: − 1/3 ≤ n ≤ 11/12 и − 2/3 ≤ k ≤ 7/12, откуда следует, что два целых значения n = 0 и k = 0 удовлетворяют соответствующим неравенствам.

При n = 0 x = π/3 + 2π * 0 = π/3.

При k = 0 x = − π/3 +2π * 0 = − π*3 . Итак, π/3 и − π/3 — корни уравнения, принадлежащие промежутку [−π; 3π/2].

Ответ: а) ± π/3 + 2πn, n ∈ Z; б) − π/3, π/3.