Задание:
а) Решите уравнение
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [- π; 3π/2].
Решение:
а) Запишем уравнение в виде 5 * 0,22 cos x − 26√5 * 0,2cos x + 25 = 0. После замены t = 0,2cos x исходное уравнение примет вид 5t2 − 26√5t + 25 = 0. Корни этого уравнения t = 5√5,t = √ 1/5 . Возвращаясь к переменной x, получим:
Первое уравнение совокупности не имеет корней. Решая второе уравнение, получим: x = ± π/3 + 2πn, n ∈ Z.
б) Запишем решение уравнения в виде x = π/3 + 2πk, k ∈ Z или x = − π/3 + 2πn, n ∈ Z и выясним, для каких целых значений n и k справедливы неравенства
−π ≤ − π/3 + 2πn ≤ 3π/2 и −π ≤ π/3 + 2πk ≤ 3π/2.
Получим: − 1/3 ≤ n ≤ 11/12 и − 2/3 ≤ k ≤ 7/12, откуда следует, что два целых значения n = 0 и k = 0 удовлетворяют соответствующим неравенствам.
При n = 0 x = π/3 + 2π * 0 = π/3.
При k = 0 x = − π/3 +2π * 0 = − π*3 . Итак, π/3 и − π/3 — корни уравнения, принадлежащие промежутку [−π; 3π/2].
Ответ: а) ± π/3 + 2πn, n ∈ Z; б) − π/3, π/3.