а) Решите уравнение 125x - 3 * 25x - 5x + 2 + 75 = 0...

Задание:

а) Решите уравнение 125^x - 3 * 25^x - 5^{x + 2} + 75 = 0.

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log₅ 4; log₅ 11].

Решение:

а) Преобразуем исходное уравнение и разложим на множители его левую часть.

5^3x − 3 · 5^2x − 25 · 5^x + 25 · 3 = 0,

5^2x (5^x − 3) − 25(5^x − 3) = 0,

(5^x − 3)(5^2x − 25) = 0.

Получаем: 5^x − 3 = 0 или 5^2x − 25 = 0. 5^x − 3 = 0, x = log₅ 3 или 5^2x = 25, x = 1.

б) Нам нужно выбрать те корни уравнения, которые принадлежат отрезку [log₅ 4; log₅ 11]. Заметим, что log₅ 3 < log₅ 4 < 1 < log₅ 11, значит, указанному отрезку принадлежит корень x = 1.

Ответ: а) 1; log₅ 3; б) 1.