а) Решите уравнение 27^х - 5 * 9^х - З^х+4 + 405 = 0...

Задание:

а) Решите уравнение 27^х - 5 * 9^х - З^х+4 + 405 = 0.

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log₃6;log₃10].

Решение:

а) Преобразуем исходное уравнение и разложим на множители его левую часть.

3^3x − 5 * 3^2x − 81 * 3^x + 405 = 0,

3^2x (3^x − 5) − 81(3^x − 5) = 0,

(3^2x − 81)(3^x − 5) = 0.

Получаем: 3^2x − 81 = 0 или 3^x − 5 = 0. Значит, 3^2x = 81, откуда x = 2 или 3^x = 5, откуда x = log₃ 5.

б) Нам нужно выбрать те корни уравнения, которые принадлежат отрезку [log₃ 6; log₃ 10]. Заметим, что 2 = log₃ 9. Тогда log₃ 5 < log₃ 6 < 2 < log₃ 10. Значит, указанному отрезку принадлежит корень x = 2.

Ответ: а) 2; log₃ 5; б) 2.