Решите уравнение 2cos^2 x + 19sin x + 8 = 0...

Задание:

а) Решите уравнение 2cos² x + 19sin x + 8 = 0.

б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [-π; π/2].

Решение:

а) 2 cos² x + 19 sin x + 8 = 0,

2(1 − sin² x) + 19 sin x + 8 = 0,

−2 sin² x + 19 sin x + 10 = 0,

2 sin² x − 19 sin x − 10 = 0.

Пусть sin x = y, |y| ≤ 1, уравнение примет вид 2y² − 19y − 10 = 0,

y₁ = 10 или y₂ = − 1/2.

y₁ = 10 не удовлетворяет условию |y| ≤ 1.

sin x = − 1/2 , x = (−1)ⁿ⁺¹ π/6 + πn, n ∈ Z.

б) Найдём корни уравнения на отрезке [−π; π/2]. С помощью числовой окружности отберём корни уравнения, принадлежащие [−π; π/2].

Это числа − 5π/6 и − π/6.

Ответ: а) (−1)ⁿ⁺¹ π/6 + πn, n ∈ Z; б) − 5π/6 , − π/6 .