а) Решите уравнение 2log2^2(sin x / 2) - 7log2(sin x...
Категория: Задание 13 ЕГЭ по математике (Уравнения)
Задание:
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π/2; 3π].
Решение:
а) После замены 
исходное уравнение примет вид 2t2 − 7t − 15 = 0. Корни этого уравнения t = −3/2 ,t = 5. Возвращаясь к переменной x, получим:
Первое уравнение совокупности не имеет корней. Решая второе уравнение, получим: x = (−1)n *π/4 + πn, n ∈ Z.
б) Запишем решение уравнения в виде x = π/4 + 2πn, n ∈ Z или x = 3π/4 + 2πk, k ∈ Z и выясним, для каких целых значений n и k справедливы неравенства π/2 ≤ π/4 + 2πn ≤ 3π и π/2 ≤ 3π/4 + 2πk ≤ 3π.
Получим: 1/8 ≤ n ≤ 11/8 и − 1/8 ≤ k ≤ 9/8 , откуда следует, что n = 1, k = 0, k = 1.
При n = 1 x = π/4 + 2π · 1 = 9π/4 .
При k = 0 x = 3π/4 .
При k = 1 x = 3π/4 + 2π · 1 = 11π/4 .
Итак, 3π/4 , 9π/4 , 11π/4 — корни уравнения, принадлежащие промежутку [π/2; 3π].
Ответ: а) (−1)n *π/4 + πn, n ∈ Z; б) 3π/4 , 9π/4 , 11π/4 .