Часть денег от суммы 400 млн рублей размещена...

Задание:

Часть денег от суммы 400 млн рублей размещена в банке под 12% годовых, а другая часть инвестирована в производство, причём через год эффективность вложения ожидается в размере 250% (то есть вложенная сумма х млн рублей оборачивается в капитал 2,5х млн рублей), затем отчисляются деньги на издержки, которые задаются квадратичной зависимостью 0,0022х² млн рублей. Разность между капиталом и издержками в производстве облагается налогом в 20%. Как распределить капитал между банком и производством, чтобы через год получить общую максимальную прибыль от размещения денег в банк и вложения денег в производство? Сколько млн рублей составит эта прибыль?

Решение:

Пусть x млн рублей инвестировано в производство, тогда в банке размещено (400 − x) млн рублей. Деньги в банке размещены под 12% годовых, поэтому через год в банке станет 1,12*(400 − x) млн рублей. По условию через год эффективность вложения в производство ожидается в размере 250%, то есть вложенные x млн рублей превратятся в 2,5x млн рублей. Теперь от 2,5x нужно вычесть деньги на издержки, которые задаются квадратичной зависимостью: (2,5x − 0,0022x²) млн рублей, после чего нужно заплатить налог в 20% от этой суммы, поэтому останется 80% этой суммы, то есть 0,8 · (2,5x − 0,0022x²) млн рублей.

Рассмотрим функцию прибыли

f(x) = 1,12*(400 − x) + 0,8*(2,5x − 0,0022x²) − 400,

f(x) = 448 − 1,12x + 2x − 0,8 · 0,0022x² − 400,

f(x) = −0,8 · 0,0022x² + 0,88x + 48.

Это квадратичная функция, наибольшее значение она принимает в точке

x = −0,88 / (2 · (−0,8 · 0,0022)) = 88000 / 2*8*22 = 250.

f(250) = −0,8 · 0,0022 · 250² + 0,88 · 250 + 48 = −110 + 220 + 48 = 158 (млн рублей). Итак, прибыль составит 158 млн рублей.

Ответ: 158.