Дана последовательность натуральных чисел, в кот...

Задание:

Дана последовательность натуральных чисел, в которой каждое число, кроме первого и последнего, больше среднего арифметического соседних с ним членов этой последовательности.

а) Приведите пример последовательности, состоящей из пяти членов, с суммой, равной 50.

б) Может ли в последовательности из пяти членов быть два равных между собой?

в) Какая минимальная сумма может быть в последовательности из шести членов?

Решение:

а) Пример: (2, 7, 11, 14, 16).

б) Да, может. Пример: (6, 7, 7, 6, 3).

в) Пусть первое и шестое числа равны 1 (наименьшие натуральные числа). Рассмотрим последовательность (1, a, b, c, d, 1).

Заметим, что ни одно из натуральных чисел a, b, c, d не может быть равно единице, в противном случае нарушено условие: каждое число больше среднего арифметического соседних с ним чисел (кроме первого и последнего). Если предположить, что a = 2, тогда из условия a > (1 + b) / 2 следует, что 4 > 1 + b, b < 3, b = 2, что невозможно. Действительно, при b = 2 в последовательности (1, 2, 2, c, d, 1) число c может принимать только одно значение, равное 1, что невозможно. Итак, a ≠ 2.

Пусть a = 3. Из условия a > (1 + b) / 2 следует, что 3 > (1 + b) / 2 или b < 5, то есть b = 2, b = 3, b = 4. Легко убедиться, что b ≠ 2, b ≠ 3. Рассуждая аналогично, получим: c = 4, d = 3. (1, 3, 4, 4, 3, 1). Минимальная сумма равна 16.

Ответ: а) (2, 7, 11, 14, 16); б) да; в) 16.