На доске написано более 40, но менее 48....

Задание:

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно  –3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно –8.
а) Сколько чисел написано на доске? 
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них? 

Решение:

Пусть среди написанных чисел k положительных,  l  отрицательных и  m  нулей. Сумма набора чисел равна количеству  чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому: 4k – 8l + 0·m = –3(k + l + m).

а) Заметим, что в левой части приведенного выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому k + l + m  –  количество  целых  чисел  –  делится  на  4.  По  условию  40 < k + l + m < 48,  поэтому k + l + m = 44. Таким образом, на доске написано 44 числа. 

Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.