Множество чисел назовём красивым, если его можно...

Задание:

Множество чисел назовём красивым, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.

а) Является ли множество {500; 501; 502;.. .599} красивым?

б) Является ли множество {5; 25; 125;... 5¹⁰⁰} красивым?

в) Сколько красивых четырёхэлементных подмножеств у множества {1;3;5;6;7;9;14}?

Решение:

а) Разобьём множество {500; 501; 502; . . .; 599} на 50 пар, сумма чисел в каждой из которых равна 1099: {500; 599}, {501; 598}, . . . .

Множество {500; 501; 502; . . .; 599} можно разбить на два подмножества, в каждом из которых по 25 таких пар. Значит, сумма в этих двух подмножествах одинакова и множество {500; 501; 502; . . . 599} является красивым.

б) Заметим, что 5¹⁰⁰ > (5¹⁰⁰ − 1)/4 = 5⁹⁹ + 5⁹⁸ + . . . + 25 + 5 + 1. Поэтому сумма чисел в подмножестве множества {5; 25; 125; . . . ; 5¹⁰⁰}, содержащем 5 100 , всегда больше суммы остальных чисел, следовательно, множество {5; 25; 125; . . . ; 5¹⁰⁰} не является красивым.

в) Заметим, что четырёхэлементное множество является красивым в двух случаях: либо одно число является суммой трёх других, либо множество содержит две пары чисел с равными суммами.

Подмножества множества {1; 3; 5; 6; 7; 9; 14}, удовлетворяющие первому случаю, — это {1; 3; 5; 9}, {3; 5; 6; 14}, {1; 6; 7; 14}. Рассмотрим второй случай. Заметим, что сумма всех чисел красивого подмножества чётна. В исходном множестве всего два чётных числа, поэтому числа 6 и 14 либо одновременно входят в красивое четырёхэлементное подмножество, либо одновременно не входят в него. Если 6 и 14 входят в подмножество, то либо сумма двух других чисел равна 20, что невозможно, так как сумма самых больших оставшихся чисел 7 + 9 < 20, либо разность двух других чисел равна 8.

Получаем красивое подмножество: {1; 6; 9; 14}.

Если 6 и 14 не входят в подмножество, то красивое подмножество лежит во множестве {1; 3; 5; 7; 9}. Получаем красивые подмножества (две пары чисел с равными суммами): {1; 3; 5; 7}, {1; 3; 7; 9}, {3; 5; 7; 9} . Всего получилось 7 красивых подмножеств.

Ответ: а) да; б) нет; в) 7.