На доске написано несколько различных натура...

Задание:

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.

а) Может ли на доске быть 5 чисел?

б) Может ли на доске быть 6 чисел?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Решение:

а) Да, например 6, 7, 8, 9, 10.

б) Нет. Если попытаться добавить число к набору 6, 7, 8, 9, 10, которое будет меньше 6, то произведение этого числа и 6 будет меньше 40. А если к этому же набору прибавить число, большее 10, то произведение этого числа и 10 будет больше 100.

в) 35. Докажем, что четыре подходящих числа 7, 8, 9, 11 обладают наибольшей суммой среди всех подходящих четверок чисел. Этот набор можно изменить, заменив 7 на 6 – сумма будет меньше. Также можно заменить 11 на 10 – снова получим уменьшение. А вот заменять число из данного набора на число, которое будет больше 11 нельзя: произведение этого числа и 10 будет больше 100. Поэтому данная четверка обладает наибольшей суммой.

Ответ: а) да; б) нет; в) 35.