Индивидуальному предпринимателю 15 марта был...

Задание:

Индивидуальному предпринимателю 15 марта был выдан кредит на приобретение оборудования. В нижеследующей таблице указан график его погашения. Текущий долг указывается в процентах:

В конце каждого месяца, начиная с марта, банк увеличивает текущий долг на 5%. После этого в первой половине последующего месяца вкладчик обязан внести в банк такую сумму, чтобы оставшийся долг стал равным указанному в таблице текущему долгу на 15 число этого месяца. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

Решение:

Обозначим через K сумму выданного кредита, а через x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ и x₆ — выплаты по кредиту в апреле, мае, июне, июле, августе и сентябре. Тогда по условию на конец марта текущий долг будет равен 1,05 * K. После уплаты суммы x₁ он станет равным 1,05 * K − x₁ и будет равен 80% от K, то есть 0,8 * K. Составляем первое уравнение: 1,05 * K − x₁ = 0,8 * K.

Далее этот текущий долг опять увеличивается на 5%, и опять уплачивается сумма x₂, после чего останется 65% от K. Получаем второе уравнение:

1,05 * 0,8 * K − x₂ = 0,65 * K.

Последующие уравнения будут иметь вид:

1,05 * 0,65 * K − x₃ = 0,45 * K;

1,05 * 0,45 * K − x₄ = 0,3 * K;

1,05 * 0,3 * K − x₅ = 0,2 * K;

1,05 * 0,2 * K − x₆ = 0.

Складывая полученные уравнения, имеем:

1, 05K * (1 + 0,8 + 0,65 + 0,45 + 0,3 + 0,2) − (x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ + x₆) = K * (0,8 + 0,65 + 0,45 + 0,3 + 0,2).

Отсюда x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ + x₆ = K * (1,05 + 0,05 *(0,8 + 0,65 + 0,45 + 0,3 + 0,2)) = K * (1,05 + 0,05 · 2,4) = K * (1,05 + 0,12) = K * 1,17.

Получаем, что сумма всех выплат больше суммы кредита на 0,17K, то есть на 17% от K.

Ответ: 17.