На доске записаны числа 1 , 2 ,3,..., 33. За один ход...

Задание:

На доске записаны числа 1 , 2 ,3,..., 33. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых больше 66 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.

а) Приведите пример последовательных пяти ходов.

б) Можно ли сделать 11 ходов?

в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?

Решение:

а) Пример пяти ходов.

1) (33, 32, 2) — сумма 33 + 32 + 2 = 67,

2) (30, 29, 9) — сумма 30 + 29 + 9 = 68,

3) (27, 26, 16) — сумма 27 + 26 + 16 = 69,

4) (25, 24, 21) — сумма 25 + 24 + 21 = 70,

5) (23, 28, 20) — сумма 23 + 28 + 20 = 71.

Возможны и другие примеры.

б) Предположим, что можно сделать 11 ходов. Тогда надо стереть все числа. Сумма всех чисел равна 1 + 2 + 3 + . . . + 33 = (1 + 33)/ 2 * 33 = 561.

С другой стороны, сумма чисел в каждой стёртой тройке больше 66. Значит, их общая сумма не меньше, чем 67 * 11 = 737. Но 737 > 561. Получили противоречие. Сделать 11 ходов невозможно.

в) Предположим, что сделано k ходов. За эти ходы вычеркнуто 3k различных чисел. Их общая сумма S удовлетворяет неравенствам

S ≤ 33 + 32 + 31 + . . . + (33 − 3k + 1) = (67 − 3k)/ 2 * 3k,

S ≥ 67 + 68 + 69 + . . . + (66 + k) = (133 + k)/ 2 * k.

Значит,

(133 + k)/ 2 * k ≤ (67 − 3k)/ 2 * 3k;

133+k ≤ (67−3k) * 3;

133+k ≤ 201 − 9k;

k ≤ 6,8.

Но число ходов k является натуральным числом, поэтому k ≤ 6. Построим пример шести ходов. Первые 5 ходов такие же, как и в пункте а). Шестой ход — (31, 22, 19), с суммой 31 + 22 + 19 = 72. Таким образом, наибольшее возможное число ходов равно 6.

Ответ: а) (33; 32; 2), (30; 29; 9), (27; 26; 16), (25; 24; 21), (23; 28; 20); б) нет; в) 6.