На доске написаны числа 1 , 2 ,3,..., 36...

Задание:

На доске написаны числа 1 , 2 ,3,..., 36. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых больше 59 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.

а) Приведите пример последовательных 7 ходов.

б) Можно ли сделать 12 ходов? в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?

Решение:

а) Пример 7 ходов: (7, 17, 36); (8, 18, 35);(9, 19, 34); (11, 21, 32);(12, 22, 31);(13, 23, 30); (14, 24, 29).

б) Предположим, что сделано 12 ходов, значит, стёрты все 36 чисел. С одной стороны, сумма всех чисел равна 1+2+. . .+36 = 666. С другой стороны, каждая из сумм стираемых трёх чисел больше 59. Значит, сумма стёртых чисел не меньше 60 + 61 + . . . + 71 = 786. Противоречие. Значит, нельзя сделать 12 ходов.

в) Пусть сделано 11 ходов. Тогда, с одной стороны, сумма всех вычеркнутых чисел больше 60 · 11 = 660, а с другой стороны, эта сумма не превосходит суммы 36 + 35 + . . . + 4 = 660. Противоречие. Значит, нельзя сделать 11 ходов. Покажем, что можно сделать 10 ходов.

(7, 17, 36); (8, 18, 35); (9, 19, 34); (10, 20, 33); (11, 21, 32); (12, 22, 31); (13, 23, 30); (14, 24, 29); (15, 25, 28); (16, 26, 27).

Ответ: а) (7, 17, 36); (8, 18, 35); (9, 19, 34); (11, 21, 32); (12, 22, 31); (13, 23, 30); (14, 24, 29); б) нет; в) 10.