На доске написаны числа 1 , 2 ,3,..., 36. За один ход...

Задание:

На доске написаны числа 1 , 2 ,3,..., 36. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 40 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.

а) Приведите пример последовательных 6 ходов.

б) Можно ли сделать 12 ходов?

в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?

Решение:

Пример 6 ходов: а) (2, 9, 20); (8, 11, 19); (7, 12, 18); (3, 15, 17); (4, 13, 16); (1, 6, 21).

б) Предположим, что сделано 12 ходов, значит, стёрты все 36 чисел. С одной стороны, сумма всех чисел равна 1 + 2 + . . . + 36 = 666. С другой стороны, каждая из сумм стираемых трёх чисел меньше 40. Значит, сумма стёртых чисел меньше 40 * 12 = 480. Противоречие. Значит, нельзя сделать 12 ходов.

в) Пусть сделано 8 ходов. Стёрли 24 числа. Тогда сумма этих чисел не меньше 1 + 2 + 3 + . . . + 24 = 300. С другой стороны, эта сумма не больше суммы чисел 39 + 38 + 37 + 36 + 35 + 34 + 33 + 32 = 284. Противоречие. Значит, нельзя сделать 8 ходов. Покажем, что можно сделать 7 ходов. (2, 9, 20);(8, 11, 19);(7, 12, 18);(3, 15, 17);(4, 13, 16);(1, 6, 21);(5, 10, 14).

Ответ: а) (2, 9, 20); (8, 11, 19); (7, 12, 18); (3, 15, 17); (4, 13, 16); (1, 6, 21); б) нет; в) 7.