На столе перед нумизматом лежит 2025 монет орлом кверху...

Задание:

На столе перед нумизматом лежит 2025 монет орлом кверху. За один ход нумизмат переворачивает любые 6 различных монет. Разрешается переворачивать и те монеты, которые уже были задействованы в предыдущих ходах.

а) Может ли после нескольких ходов ровно 16 монет оказаться кверху решкой?

б) Может ли после нескольких ходов ровно 9 монет оказаться кверху решкой?

в) Какое наименьшее число монет может оказаться кверху орлом в результате конечного числа ходов?

Решение:

а) Да, может. Пусть в первые два хода нумизмат переворачивает монеты, лежащие кверху орлом, а за третий ход — 5 монет, лежащих кверху орлом, и 1 монету, лежащую кверху решкой.

б) Нет, не может. После очередного хода монеты на столе могут быть двух видов: монеты кверху орлом и монеты кверху решкой.

Если за один ход нумизмат переворачивает 6 монет одного вида, то количество монет каждого вида изменяется на 6.

Если за один ход нумизмат переворачивает 5 монет одного вида и 1 монету другого, то количество монет каждого вида изменяется на 4.

Если за один ход нумизмат переворачивает 4 монеты одного вида и 2 монеты другого, то количество монет каждого вида изменяется на 2.

Если за один ход нумизмат переворачивает по 3 монеты каждого вида, то количество монет каждого вида не изменяется.

Таким образом, количество монет, которые лежат кверху решкой, в результате каждого хода изменяется на 6, на 4, на 2 или на 0 (не изменяется), то есть изменяется на чётное число. Следовательно, количество монет кверху решкой всегда остаётся чётным (изначально их 0 — чётное число).

в) Количество монет кверху орлом всякий раз изменяется на чётное число, следовательно, всегда остаётся нечётным (изначально их 2025 — нечётное число). Наименьшее нечётное целое неотрицательное число равно 1. Покажем, что на столе может оказаться ровно 1 монета кверху орлом. Пусть первые 336 ходов нумизмат переворачивает монеты, лежащие кверху орлом. Тогда он перевернёт 2016 монет, и на столе останется 9 монет, лежащих кверху орлом. Следующим ходом он перевернёт 5 монет, лежащих орлом кверху, и 1 монету, лежащую кверху решкой. Количество монет кверху орлом станет равным 5. Таким же образом нумизмат осуществит последний ход: перевернёт 5 монет, лежащих орлом кверху, и 1 монету, лежащую кверху решкой. На столе останется 1 монета орлом кверху.

Ответ: а) да; б) нет; в) 1.