Найдите все значения a.. |a^2 + 3 - x| + |x - a - 2|...
Категория: Задание 18 ЕГЭ по математике (Задача с параметром) | Просмотров: 191 | Комментарии (0)
Задание:
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|a2 + 3 - x| + |x - a - 2| + |x - 3a - 1| = a2 - a + 1
имеет хотя бы один корень.
Решение:
Используем «неравенство треугольника»: |x + y| <= |x| + |y|, где равенство
достигается, если x и y или оба неотрицательны, или оба неположительны.
Поскольку a2 - a + 1 > 0, будем иметь:
Следовательно, в цепочке (1) все неравенства обращаются в равенства. Это
возможно лишь в том случае, когда (a2 + 3 - x) и (x - a - 2) неотрицательны (так как их сумма положительна), а x - 3a - 1 = 0. Получим систему условий:
Подставим значение x = 3a + 1 из первого равенства системы (2) во второе и третье:
Ответ: [0,5; 1] U [2; +∞).