Найдите все значения q, при каждом из которых сис...

Задание:

Найдите все значения q, при каждом из которых система уравнений  имеет ровно два различных решения.

Решение:

Решим задачу графически. Построим графики первого и второго уравнения и определим, сколько точек пересечения они имеют при различных значениях параметра.

Первое уравнение  параметра не содержит и представляет собой равенство дроби нулю. Это выполняется, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, при этом оба выражения имеют смысл.

Запишем уравнение в виде  разложив числитель на множители. При x 6 −7 левая часть не имеет смысла.

При x ≤ −7 уравнение задаёт прямую y = 7 и гиперболу y = 7/x.

Найдём координаты точек A, B и C. B — точка пересечения прямой y = 7 и гиперболы y = 7/x , чтобы найти её координаты, нужно решить систему уравнений .

Получаем B(1; 7).

У точек A и C абсцисса равна −7, ординаты находим из уравнений прямой и гиперболы. A(−7; 7) и C(−7; −1).

При каждом значении q уравнение y = qx задаёт прямую с угловым коэффициентом q, проходящую через начало координат. При x > −7 такая прямая пересекает прямую y = 7 при q < −1 и q > 0, пересекает правую ветвь гиперболы y = 7/x при q > 0, пересекает левую ветвь гиперболы y = 7/x при q > 1/7 . При этом прямая y = qx проходит через точку пересечения прямой y = 7/x и гиперболы y = 7/x при q = 7.

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямой y = 7 и гиперболы y = 7/x с прямой y = qx при условии x > −7.

Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при 0 < q ≤ 1/7 ; q = 7.

Ответ: ( 0; 1/7] , {7}.