Найдите все значения а, при которых система урав...

Задание:

Найдите все значения а, при которых система уравнений  имеет ровно три решения.

Решение:

Уравнение (x + 1)² = (y − 2)² равносильно совокупности двух уравнений

Множество решений этой совокупности совпадает с множеством всех точек, лежащих на двух прямых: y = x + 3 и y = −x + 1. Заметим, что эти прямые проходят через точку (−1; 2), так как система  имеет единственное решение (−1; 2).

При каждом значении a множеством решений второго уравнения системы
(x + 1)² + (y − a)² = 3a² − 2a + 4 будет множество всех точек окружности с центром в точке (−1; a), лежащей на прямой x = −1, и радиусом  (заметим, что 3a² − 2a + 4 > 0 для любого a).

Указанные окружности будут иметь ровно три общие точки с парой указанных выше пересекающихся прямых в том и только том случае, когда окружности проходят через точку пересечения прямых.

В таком случае точка (−1; 2) лежит на окружности, значит, верно равенство (−1 + 1)² + (2 − a)² = 3a² − 2a + 4. Отсюда получаем: 4 − 4a + a² = 3a² − 2a + 4; 2a² + 2a = 0; 2a * (a + 1) = 0; a = 0 или a = −1.

Ответ: −1; 0.