Найдите все значения параметра а, при каждом из...

Задание:

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система  имеет ровно два решения.

Решение:

Построим график уравнения . Преобразовав подкоренное выражение, получим: , .

Если y ≥ 0, то y² = 1 − (x + 3)², (x + 3)² + y² = 1.

Если y < 0, точек, удовлетворяющих уравнению, нет.

Получилась полуокружность радиусом 1 с центром в точке (−3; 0), лежащая в верхней полуплоскости.

Уравнение y + ax = a + 1 запишем в виде y = −a(x − 1) + 1 — семейство прямых с угловым коэффициентом −a, проходящих через точку M(1; 1). Рассмотрим рисунок. Видно, что система имеет единственное решение, если:

1) прямая MC касается полуокружности, поэтому −a = a₁ = 0,

2) прямая и полуокружность имеют единственную общую точку, при этом a₂ < −a ≤ a₃. Найдём a₂ из условия, что прямая y = a₂(x − 1) + 1 проходит через точку A(−4; 0).

a₂(−4 − 1) + 1 = 0 a₂ = 1/5.

Найдём a₃ из условия, что прямая y = a₃(x − 1) + 1 проходит через точку B(−2; 0).

a₃(−2 − 1) + 1 = 0 a₃ = 1/3.

Имеем 1/5 < −a ≤ 1/3, значит, − 1/3 ≤ a < − 1/5.

Следовательно, система имеет единственное решение, если − 1/3 ≤ a < − 1/5 и a = 0.

Ответ: [− 1/3 ; − 1/5) ; 0.