Найдите все значения параметра а, при каждом из которых...

Задание:

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение.

Решение:

Построим график уравнения y = √(−7 − 8x − x²).

Преобразовав подкоренное уравнение, получим: y = √(9 − (x² + 8x + 16)),

y = √(3² − (x + 4)²).

Если y ≥ 0, то y² = 9 − (x + 4)² , (x + 4)² + y² = 9.

Если y < 0, точек, удовлетворяющих уравнению, нет.

Получилась полуокружность радиусом 3 с центром в точке (−4; 0), лежащая в верхней полуплоскости.

Уравнение y − ax = 3 − a запишем в виде y = a(x − 1) + 3 — семейство прямых с угловым коэффициентом a, проходящих через точку N(1; 3).

Рассмотрим рисунок. Видно, что прямая и полуокружность имеют две общие точки, если:

1) прямая касается полуокружности, при этом a = a₁ = 0,

2) прямая и полуокружность имеют единственную общую точку, при этом a₂ < a ≤ a₃.

Найдём a₂ из условия, что прямая y = a(x − 1) + 3 проходит через точку A(−7; 0).

a(−7 − 1) + 3 = 0, a = 3/8 , значит, a₂ = 3/8.

Найдём a₃ из условия, что прямая y = a(x − 1) + 3 проходит через точку C(−1; 0).

a(−1 − 1) + 3 = 0, a = 3/2 , значит, a₃ = 3/2. Имеем 3/8 < a ≤ 3/2.

Система имеет единственное решение, если 3/8 < a ≤ 3/2 и a = 0.

Ответ: (3/8 ; 3/2] ; 0.