Найдите все значения параметра a при каждом из которых...

Задание:

Найдите все значения параметра a при каждом из которых уравнение

|(x - 1)² - 2^1-a| + |x - 1| + (1 - x)² + 2^a-1 = 4 + 4^a

имеет единственное решение. Найдите это решение для каждого значения a

Решение:

Пусть число x  — решение данного уравнения при некотором значении параметра a. Тогда число (2-x) есть его решение при том же значении a. Если решение единственно, то решения 2 - x и x совпадают, то есть

Подставив это решение в исходное уравнение, получим:

откуда a = -1

Пусть a = -1. Тогда исходное уравнение примет вид

Отсюда следует, что , следовательно, 

Исходное уравнение принимает вид ,  и оно имеет единственное решение x = 1,  удовлетворяющее условию . Следовательно, a = -1 удовлетворяет условию задачи.

Ответ: при a = -1 единственное решение x = 1